Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16466
2026-02-19 
Докажите, что стороны педального треугольника любой внутренней точки $P$ равностороннего треугольника пропорциональны расстояниям до противоположных вершин исходного треугольника
Решение:
Пусть $P$ - произвольная точка внутри равностороннего треугольника $ABC$, а $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ - проекции этой точки на стороны соответственно $BC$, $AC$ и $AB$.
Точки $B_{1}$ и $C_{1}$ лежат на окружности с диаметром $AP$, поэтому по теореме синусов
$B_{1}C_{1}=AP\sin\angle A=AP\sin60^{\circ}.$
Значит,
$\frac{B_{1}C_{1}}{AP}=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$
Аналогично,
$\frac{A_{1}B_{1}}{CP}=\frac{\sqrt{3}}{2},~\frac{A_{1}C_{1}}{BP}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$
Следовательно,
$\frac{B_{1}C_{1}}{AP}=\frac{A_{1}B_{1}}{CP}=\frac{A_{1}C_{1}}{BP}.$
Что и требовалось доказать
Докажите, что стороны педального треугольника любой внутренней точки $P$ равностороннего треугольника пропорциональны расстояниям до противоположных вершин исходного треугольника
Решение:
Пусть $P$ - произвольная точка внутри равностороннего треугольника $ABC$, а $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ - проекции этой точки на стороны соответственно $BC$, $AC$ и $AB$.
Точки $B_{1}$ и $C_{1}$ лежат на окружности с диаметром $AP$, поэтому по теореме синусов
$B_{1}C_{1}=AP\sin\angle A=AP\sin60^{\circ}.$
Значит,
$\frac{B_{1}C_{1}}{AP}=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$
Аналогично,
$\frac{A_{1}B_{1}}{CP}=\frac{\sqrt{3}}{2},~\frac{A_{1}C_{1}}{BP}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$
Следовательно,
$\frac{B_{1}C_{1}}{AP}=\frac{A_{1}B_{1}}{CP}=\frac{A_{1}C_{1}}{BP}.$
Что и требовалось доказать
