ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
В треугольнике $ABC$ с углом $60^{\circ}$ при вершине $B$ точка $O$ - центр описанной окружности. Биссектриса $BL$ треугольника пересекает описанную окружность в точке $W$. Докажите, что прямая $OW$ касается окружности, описанной около треугольника $BOL$


Решение:


Первый способ. Точки $O$ и $W$ симметричны относительно прямой $AC$, поскольку

$\angle AOC=2\angle ABC=120^{\circ}=180^{\circ}-\angle ABC=\angle AWC,$

а также $OA=OC$ и $WA=WC$.
Тогда $\angle WOL=\angle LWO$, а т.к.

$\angle LWO=\angle BWO=\angle OBW,$

то $\angle WOL=\angle OBL$. Следовательно, прямая $OW$ - касательная к окружности, описанной около треугольника $BOL$ (см. задачу 3946).
Второй способ. Докажем, что $WO^{2}=WL\cdot WB$, откуда и будет следовать утверждение задачи (см. задачу 7887).
В первом способе решения мы фактически доказали, что $AOCW$ - ромб с углом $120^{\circ}$, поэтому треугольник $OCW$ равносторонний, и $WO=WC$. Кроме того,

$\angle WCL=\angle WCA=\angle WBA=\angle WBC,$

значит, $WC$ - касательная к окружности, описанной около треугольника $BLC$ (см. задачу 3946). Тогда $WC^{2}=WL\cdot WB$, поэтому $WO^{2}=WC^{2}=WL\cdot WB$. Следовательно, прямая $OW$ касается окружности, описанной около треугольника $BOL$