Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16458
2026-02-19 
Точки $X_{1}$ и $X_{2}$ движутся по фиксированным окружностям с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ соответственно так, что лучи $O_{1}X_{1}$ и $O_{2}X_{2}$ сонаправлены. Найдите геометрическое место точек пересечения прямых $O_{1}X_{2}$ и $O_{2}X_{1}$
Решение:
Поскольку указанные прямые могут совпадать, то все точки прямой $O_{1}O_{2}$ удовлетворяют условию.
Теперь рассмотрим невырожденный случай. Из условия следует, что $O_{1}X_{1}X_{2}O_{2}$ - трапеция или параллелограмм (в случае равенства окружностей). Пусть $P$ - точка пересечения $O_{1}X_{2}$ и $O_{2}X_{1}$, $M$ - такая точка на отрезке $O_{1}O_{2}$, что прямая $PM$ параллельна основаниям трапеции (в случае параллелограмма $M$ - середина $O_{1}O_{2}$). Тогда
$\frac{O_{1}M}{O_{2}M}=\frac{PX_{1}}{PO_{2}}=\frac{R_{1}}{R_{2}},$
$\frac{MP}{O_{2}X_{2}}=\frac{O_{1}M}{O_{1}O_{2}}=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}},$
откуда
$MP=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}.$
Значит, все такие точки $P$ лежат на окружности с фиксированным центром $M$ и радиусом $\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$.
Осталось показать, что все точки такой окружности могут быть пересечением указанных прямых. Рассмотрим произвольную точку $P$ указанной окружности. Проведём через точку $O_{1}$ луч, сонаправленный с лучом $MP$. Пусть $X_{1}$ - точка пересечения этого луча с прямой $O_{2}P$. Тогда из подобия треугольников $PO_{2}M$ и $X_{1}O_{2}O_{1}$ следует, что
$O_{1}X_{1}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\cdot\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{2}}=R_{1}.$
Значит, точка $X_{1}$ лежит на первой окружности. Выполнив аналогичное построение и рассуждение для точки $X_{2}$, получим требуемое
Точки $X_{1}$ и $X_{2}$ движутся по фиксированным окружностям с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ соответственно так, что лучи $O_{1}X_{1}$ и $O_{2}X_{2}$ сонаправлены. Найдите геометрическое место точек пересечения прямых $O_{1}X_{2}$ и $O_{2}X_{1}$
Решение:
Поскольку указанные прямые могут совпадать, то все точки прямой $O_{1}O_{2}$ удовлетворяют условию.
Теперь рассмотрим невырожденный случай. Из условия следует, что $O_{1}X_{1}X_{2}O_{2}$ - трапеция или параллелограмм (в случае равенства окружностей). Пусть $P$ - точка пересечения $O_{1}X_{2}$ и $O_{2}X_{1}$, $M$ - такая точка на отрезке $O_{1}O_{2}$, что прямая $PM$ параллельна основаниям трапеции (в случае параллелограмма $M$ - середина $O_{1}O_{2}$). Тогда
$\frac{O_{1}M}{O_{2}M}=\frac{PX_{1}}{PO_{2}}=\frac{R_{1}}{R_{2}},$
$\frac{MP}{O_{2}X_{2}}=\frac{O_{1}M}{O_{1}O_{2}}=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}},$
откуда
$MP=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}.$
Значит, все такие точки $P$ лежат на окружности с фиксированным центром $M$ и радиусом $\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$.
Осталось показать, что все точки такой окружности могут быть пересечением указанных прямых. Рассмотрим произвольную точку $P$ указанной окружности. Проведём через точку $O_{1}$ луч, сонаправленный с лучом $MP$. Пусть $X_{1}$ - точка пересечения этого луча с прямой $O_{2}P$. Тогда из подобия треугольников $PO_{2}M$ и $X_{1}O_{2}O_{1}$ следует, что
$O_{1}X_{1}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\cdot\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{2}}=R_{1}.$
Значит, точка $X_{1}$ лежит на первой окружности. Выполнив аналогичное построение и рассуждение для точки $X_{2}$, получим требуемое
