Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16455
2026-02-19 
Высоты $BB_{1}$ и $CC_{1}$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$; $\angle A=60^{\circ}$, $AB\lt AC$; медиана $AM$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ вторично в точке $K$; $L$ - середина дуги $BC$ описанной окружности, не содержащей точку $A$; прямые $B_{1}C_{1}$ и $BC$ пересекаются в точке $E$. Докажите, что $\angle EHL=\angle ABK$
Решение:
Лемма 1. Прямые $MH$ и $AE$ перпендикулярны.
Доказательство. Пусть $H_{1}$ - точка, симметричная ортоцентру $H$ относительно точки $M$ (рис.1). Тогда она лежит на окружности, описанной около треугольника $ABC$ и диаметрально противоположна точке $A$ (см. задачу 9435). Следовательно, проекция $P$ точки $A$ на прямую $MH$ - точка пересечения двух окружностей с диаметрами $AH$ и $AH_{1}$, т.е. описанных окружностей треугольников $AB_{1}C_{1}$ и $ABC$.
Осталось доказать, что точки $A$, $P$ и $E$ лежат на одной прямой. Это можно сделать, например, так: четырёхугольники $PAB_{1}C_{1}$ и $PACB$ вписанные, поэтому
$\angle PC_{1}E=\angle PAC=\angle PBE,$
значит, четырёхугольник $PC_{1}BE$ тоже вписанный; кроме того,
$\angle APC_{1}=180^{\circ}-\angle AB_{1}C_{1}=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-\angle EPC_{1},$
т.к. четырёхугольник $B_{1}C_{1}BC$ тоже вписанный (см. задачу 8103). Следовательно, точки $A$, $P$ и $E$ лежат на одной прямой. Отсюда следует доказательство леммы.
Лемма 2. Прямые $EH$ и $AK$ перпендикулярны.
Доказательство. Рассмотрим треугольник $MAE$. Из леммы 1 следует, что $H$ - его ортоцентр. Тогда $EH$ и $AM$ перпендикулярны, что и требовалось. (См. также задачу @H6146.)
Лемма 3. Если $\angle A=60^{\circ}$, то прямые $LH$ и $B_{1}C_{1}$ перпендикулярны.
Доказательство. Пусть $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$ (рис.2). Поскольку $\angle A=60^{\circ}$, то
$\angle BOC=120^{\circ}=\angle BLC,$
поэтому точки $O$ и $L$ симметричны относительно прямой $BC$, а т.к. $AH\parallel OL$ и $AH=2OM=OL$ (см. задачу 4912), то $AOLH$ - параллелограмм. Значит, $LH\parallel AO$. По теореме Нагеля (см. задачу 4271) прямые $AO$ и $B_{1}C_{1}$ перпендикулярны. Отсюда следует доказательство леммы.
Вернёмся к нашей задаче. Пусть $S$ - точка пересечения прямых $AK$ и $B_{1}C_{1}$ (рис.3). Из лемм 2 и 3 следует, что $\angle EHL=\angle ASE$, как тупые углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Кроме того,
$\angle ABK=\angle CBK+\angle ABC=\angle CAK+\angle AB_{1}C_{1}=\angle ASE$
(т.к. $ASE$ - внешний угол треугольника $ASB_{1}$). Отсюда следует утверждение задачи
Высоты $BB_{1}$ и $CC_{1}$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$; $\angle A=60^{\circ}$, $AB\lt AC$; медиана $AM$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ вторично в точке $K$; $L$ - середина дуги $BC$ описанной окружности, не содержащей точку $A$; прямые $B_{1}C_{1}$ и $BC$ пересекаются в точке $E$. Докажите, что $\angle EHL=\angle ABK$
Решение:
Лемма 1. Прямые $MH$ и $AE$ перпендикулярны.
Доказательство. Пусть $H_{1}$ - точка, симметричная ортоцентру $H$ относительно точки $M$ (рис.1). Тогда она лежит на окружности, описанной около треугольника $ABC$ и диаметрально противоположна точке $A$ (см. задачу 9435). Следовательно, проекция $P$ точки $A$ на прямую $MH$ - точка пересечения двух окружностей с диаметрами $AH$ и $AH_{1}$, т.е. описанных окружностей треугольников $AB_{1}C_{1}$ и $ABC$.
Осталось доказать, что точки $A$, $P$ и $E$ лежат на одной прямой. Это можно сделать, например, так: четырёхугольники $PAB_{1}C_{1}$ и $PACB$ вписанные, поэтому
$\angle PC_{1}E=\angle PAC=\angle PBE,$
значит, четырёхугольник $PC_{1}BE$ тоже вписанный; кроме того,
$\angle APC_{1}=180^{\circ}-\angle AB_{1}C_{1}=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-\angle EPC_{1},$
т.к. четырёхугольник $B_{1}C_{1}BC$ тоже вписанный (см. задачу 8103). Следовательно, точки $A$, $P$ и $E$ лежат на одной прямой. Отсюда следует доказательство леммы.
Лемма 2. Прямые $EH$ и $AK$ перпендикулярны.
Доказательство. Рассмотрим треугольник $MAE$. Из леммы 1 следует, что $H$ - его ортоцентр. Тогда $EH$ и $AM$ перпендикулярны, что и требовалось. (См. также задачу @H6146.)
Лемма 3. Если $\angle A=60^{\circ}$, то прямые $LH$ и $B_{1}C_{1}$ перпендикулярны.
Доказательство. Пусть $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$ (рис.2). Поскольку $\angle A=60^{\circ}$, то
$\angle BOC=120^{\circ}=\angle BLC,$
поэтому точки $O$ и $L$ симметричны относительно прямой $BC$, а т.к. $AH\parallel OL$ и $AH=2OM=OL$ (см. задачу 4912), то $AOLH$ - параллелограмм. Значит, $LH\parallel AO$. По теореме Нагеля (см. задачу 4271) прямые $AO$ и $B_{1}C_{1}$ перпендикулярны. Отсюда следует доказательство леммы.
Вернёмся к нашей задаче. Пусть $S$ - точка пересечения прямых $AK$ и $B_{1}C_{1}$ (рис.3). Из лемм 2 и 3 следует, что $\angle EHL=\angle ASE$, как тупые углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Кроме того,
$\angle ABK=\angle CBK+\angle ABC=\angle CAK+\angle AB_{1}C_{1}=\angle ASE$
(т.к. $ASE$ - внешний угол треугольника $ASB_{1}$). Отсюда следует утверждение задачи
