Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16462
2026-02-19 
Точка $H$ - ортоцентр непрямоугольного треугольника $ABC$, точки $O$, $A'$, $B'$ и $C'$ - центры описанных окружностей треугольников $ABC$, $HBC$, $HAC$ и $HAB$ соответственно, а $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}$. Докажите, что треугольник $ABC$ равносторонний
Решение:
Все три окружности, о которых говорится в условии, равны (см. задачу 8213), поэтому $BOCA'$, $OAC'B$ и $OCB'A$ - ромбы.
Пусть $M$ - середина стороны $BC$. Тогда (см. задачу 4912)
$\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{OA'}-\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA'}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}.$
Аналогично,
$\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB},~\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}.$
Сложив эти три равенства, получим
$\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.$
Значит, (см. задачу 7647) центр $O$ описанной окружности треугольника $ABC$ совпадает с точкой пересечения медиан этого треугольника. Следовательно, треугольник $ABC$ равносторонний (см. задачу 4977)
Точка $H$ - ортоцентр непрямоугольного треугольника $ABC$, точки $O$, $A'$, $B'$ и $C'$ - центры описанных окружностей треугольников $ABC$, $HBC$, $HAC$ и $HAB$ соответственно, а $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}$. Докажите, что треугольник $ABC$ равносторонний
Решение:
Все три окружности, о которых говорится в условии, равны (см. задачу 8213), поэтому $BOCA'$, $OAC'B$ и $OCB'A$ - ромбы.
Пусть $M$ - середина стороны $BC$. Тогда (см. задачу 4912)
$\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{OA'}-\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA'}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}.$
Аналогично,
$\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB},~\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}.$
Сложив эти три равенства, получим
$\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.$
Значит, (см. задачу 7647) центр $O$ описанной окружности треугольника $ABC$ совпадает с точкой пересечения медиан этого треугольника. Следовательно, треугольник $ABC$ равносторонний (см. задачу 4977)
