ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Пусть $I$ - центр вписанной окружности $\omega$ треугольника $ABC$, касающейся сторон $AB$ и $AC$ в точках соответственно $E$ и $F$. Прямые, проходящие через $E$ и $F$ параллельно $AI$, пересекают прямые $BI$ и $CI$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника $IPQ$, лежит на прямой $BC$


Решение:


Пусть $O$ - центр окружности, описанной около треугольника $PIQ$, $R$ - точка касания окружности $\omega$ со стороной $BC$. Докажем, что точка $O$ лежит на окружности, описанной около треугольника $PRQ$.
Пусть $\angle BAC=2\alpha$. Тогда

$\angle PIQ=\angle BIC=90^{\circ}+\alpha$

(см. задачу 7881). Значит,

$\angle POQ=2(180^{\circ}-\angle PIQ)=180^{\circ}-2\alpha.$

Кроме того, в силу симметрии и параллельности

$\angle PRB=\angle PEB=\angle IAB=\angle IAC=\angle QFC=\angle QRC=\alpha,$

поэтому

$\angle PRQ=180^{\circ}-\angle PRB-\angle QRC=180^{\circ}-2\alpha=\angle POQ.$

Следовательно, $O$ лежит на описанной окружности треугольника $PRQ$ (см. задачу 8103).
Заметим, что прямая $BC$ содержит биссектрису внешнего угла при вершине $R$ треугольника $PRQ$. Тогда эта прямая повторно пересекает описанную окружность треугольника $PRQ$ в середине дуги $PRQ$, т.е. в точке, равноудалённой от $P$ и $Q$. Но точка $O$ также лежит на этой окружности, равноудалена от $P$ и $Q$ и лежит с точкой $R$ в одной полуплоскости относительно прямой $PQ$. Следовательно, $O$ - середина дуги $PRQ$ и лежит на отрезке $BC$. Что и требовалось доказать