Пусть точка $I$ - центр вписанной окружности треугольника $A_{1}A_{2}A_{3}$, точки $I_{1}$, $I_{2}$, $I_{3}$ - центры вневписанных окружностей, противолежащих вершинам $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$ соответственно, $G$ - точка пересечения медиан треугольника $A_{1}A_{2}A_{3}$, $H_{1}$ - ортоцентр, треугольника $I_{1}A_{2}A_{3}$. Аналогично определяются точки $H_{2}$ и $H_{3}$. Докажите, что прямые $A_{1}H_{1}$, $A_{2}H_{2}$, $A_{3}H_{3}$ пересекаются в одной точке, причём эта точка лежит на прямой $IG$
Подробнее
Дан прямоугольник $ABCD$, в котором $AB\gt BD$. Постройте точки $X$ и $Y$ между $C$ и $D$ так, чтобы $AX=XY=YB$
Подробнее
Дан остроугольный треугольник $ABC$ со сторонами $AC=b$ и $AB=c$. Биссектриса угла $A$ пересекает его описанную окружность в точке $A_{1}$. Точка $D$ - проекция $A_{1}$ на прямую $AB$, точки $L$ и $M$ - середины сторон $CA$ и $AB$ соответственно. Докажите, что:
а) $AD=\frac{b+c}{2}$;
б) $A_{1}D=OM+OL$
Подробнее
Точка $I_{a}$ - центр вневписанной окружности треугольника $ABC$, противолежащей вершине $A$; $D$ - точка касания со стороной $BC$; $E$ и $F$ - точки касания с продолжениями сторон $AB$ и $AC$; $M$ - середина стороны $BC$. Докажите, что прямые $I_{a}D$, $EF$ и $AM$ пересекаются в одной точке
Подробнее
Дан параллелограмм $ABCD$. Окружность радиуса $R$, проходящая через вершины $A$ и $B$, и равная ей окружность, проходящая через вершины $B$ и $C$, вторично пересекаются в точке $E$, не совпадающей с вершиной параллелограмма. Докажите, что окружность, проходящая через точки $C$, $D$ и $E$, имеет тот же радиус $R$
Подробнее
Точка $H$ - ортоцентр треугольника $ABC$, точки $A'$, $B'$, $C'$ - середины сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. Окружность с центром $H$ пересекает прямую $B'C'$ в точках $D_{1}$ и $D_{2}$, прямую $C'A'$ - в точках $E_{1}$ и $E_{2}$, прямую $A'B'$ - в точках $F_{1}$ и $F_{2}$. Докажите, что
$AD_{1}=AD_{2}=BE_{1}=BE_{2}=CF_{1}=CF_{2}$.
Подробнее
Точка $P$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$, а точки $D$, $E$, $F$ - проекции точки $P$ на прямые $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно (известно, что эти точки лежат на одной прямой -
прямой Симсона треугольника $ABC$ и точки $P$, см. задачу 8166). Постройте точку $P$, для которой точка $E$ - середина отрезка $DF$
Подробнее
Стороны треугольника равны $a$, $b$, $c$, периметр равен $P$, а радиус описанной окружности равен $R$. Докажите, что
$R^{2}P\geq\frac{a^{2}b^{2}}{a+b-c}.$
Когда имеет место равенство
Подробнее
Постройте треугольник $ABC$ по данной стороне $AB=a$, отношению $AC:BC=b:c$ и разности углов $B$ и $C$
Подробнее
Из точки $E$, лежащей на медиане $AD$ треугольника $ABC$, опущен перпендикуляр $EF$ на сторону $BC$. Из точки $M$, лежащей на прямой $EF$, опущены перпендикуляры $MN$ и $MP$ на стороны $AC$ и $AB$ соответственно. Оказалось, что точки $N$, $E$ и $P$ лежат на одной прямой. Докажите, что точка $M$ лежит на биссектрисе угла $BAC$
Подробнее
Диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, лежащей внутри четырёхугольника. Площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны $S_{1}$ и $S_{2}$ соответственно, а площадь четырёхугольника $ABCD$ равна $S$. Докажите, что:
а) $\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}\leq\sqrt{S}$;
б) неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда прямые $AB$ и $CD$ параллельны
Подробнее
Треугольник $T_{1}$ составлен из медиан прямоугольного треугольника $T$. Пусть $R$ и $R_{1}$ - радиусы описанных окружностей треугольников $T$ и $T_{1}$ соответственно. Докажите, что $R_{1}\geq\frac{5}{6}R$
Подробнее
Два квадрата $ABDE$ и $ACFG$ построены вне треугольника $ABC$ на его сторонах $AB$ и $AC$ соответственно. Точки $P$ и $Q$ на прямой $EG$ таковы, что $BP$ и $CQ$ перпендикулярны $BC$. Докажите, что $BP+CQ\geq BC+EG$.
Когда достигается равенство
Подробнее
Окружности $\Omega$ и $\Omega_{1}$ касаются внешним образом. В окружность $\Omega$ вписан равносторонний треугольника $ABC$. Точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$, лежащие на окружности $\Omega_{1}$, таковы, что $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ - касательные к окружности $\Omega_{1}$. Докажите, что один из отрезков $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ равен сумме двух других
Подробнее
Правильный треугольник $AXY$ с вершинами $X$ и $Y$ на сторонах соответственно $BC$ и $CD$ прямоугольника $ABCD$ вырезан из этого прямоугольника. Докажите, что площадь одного из трёх оставшихся прямоугольных треугольников равна сумме двух других
Подробнее
