Пусть точки $A$ и $B$ лежат на данных лучах с началом $C$, и при этом сумма $CA+CB$ постоянна. Докажите, что существует точка $D$, которая лежит на описанной окружности треугольника $ABC$ при любом таком положении точек $A$ и $B$
Подробнее
Хорда $AB$ окружности с центром $O$ не является диаметром. Меньшая дуга $AB$ этой окружности разделена на три равные дуги $AC$, $CD$ и $DB$. Хорда $AB$ разделена на три равных отрезка $AC'$, $C'D'$ и $D'B$. Пусть $P$ - точка пересечения прямых $CC'$ и $DD'$. Докажите, что $\angle APB=\frac{1}{3}\angle AOB$
Подробнее
Пусть $a$, $b$, $c$ - стороны, а $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ - противолежащие им углы треугольника. Докажите, что если
$ab^{2}\cos\alpha=bc^{2}\cos\beta=ca^{2}\cos\gamma,$
то треугольник равносторонний
Подробнее
Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $A$. На продолжении гипотенузы $BC$ за точку $C$ отложен отрезок $CD=CB+BA$. Биссектриса угла $ABC$ пересекает прямую, проходящую через середины катетов $AB$ и $AC$, в точке $T$. Докажите, что $\angle ACT=\angle ADC$
Подробнее
Дан остроугольный равнобедренный треугольник $ABC$, $D$ - произвольная точка на его основании $BC$. Прямая, проведённая через точку $C$ параллельно $AD$, пересекает прямую $AB$ в точке $E$. Докажите, что $CE\gt2AD$
Подробнее
В остроугольном треугольнике $ABC$ точки $O$, $I$ и $H$ - центр описанной окружности, центр вписанной окружности и ортоцентр соответственно. Известно, что точки $A$, $H$, $I$, $O$ и $B$ лежат на одной окружности.
а) Найдите угол $C$.
б) Докажите, что $HI=IO$.
в) Найдите углы $A$ и $B$, если известно, что $AH=HI$
Подробнее
Углы треугольника образуют арифметическую прогрессию. Высоты треугольника тоже образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что треугольник равносторонний
Подробнее
На катетах $AB$ и $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ вне треугольника построены квадраты $ABDE$ и $ACFG$. Пусть прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, а прямые $BF$ и $AC$ - в точке $Q$. Докажите, что $AP=AQ$
Подробнее
Внутри параллелограмма $ABCD$ взята точка $P$. Известно, что $\angle ABP=2\angle ADP$ и $\angle DCP=2\angle DAP$. Докажите, что $AB=PB=PC$
Подробнее
Точки $E$ и $D$ середины диагоналей соответственно $AC$ и $BD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$, $O$ - точка пересечения диагоналей, точки $H$, $K$, $L$ и $M$ - середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ соответственно, а $G$ - вершина параллелограмма $FOEG$. Докажите, что прямые $GH$, $GK$, $GL$ и $GM$ разбивают четырёхугольник $ABCD$ на четыре равновеликие части
Подробнее
Пусть $O$ - центр окружности, проходящей через точки $A$, $B$ и $C$, точка $D$ - середина отрезка $AB$, а $E$ - точка пересечения медиан треугольника $ACD$. Докажите, что прямые $CD$ и $OE$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $AB=AC$
Подробнее
Точка $O$ - центр окружности, описанной около равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Вершины $P$, $Q$, $R$, $S$ ромба лежат на сторонах соответственно $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ трапеции. Докажите, что точки $Q$, $S$ и $O$ лежат на одной прямой
Подробнее
Угол при вершине $C$ треугольника $ABC$ равен $30^{\circ}$. Точки $D$ и $E$ лежат на сторонах $AC$ и $BC$ соответственно, причём $AD=BE=AB$. Докажите, что $OI=DE$ и $OI\perp DE$, где $O$ и $I$ - центры соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника
Подробнее
Точки $M$ и $P$ - середины сторон $BC$ и $CD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$. Известно, что $AM+AP=a$. Докажите, что площадь четырёхугольника $ABCD$ меньше $\frac{a^{2}}{4}$
Подробнее
Пусть $M$ - середина стороны $BC$ треугольника $ABC$, в котором $\angle ABM=\angle C$ и $\angle MAC=15^{\circ}$. Найдите $\angle C$
Подробнее
