Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16459
2026-02-19 
В остроугольном треугольнике $ABC$ прямая $OI$, проходящая через центры $O$ и $I$ соответственно описанной и вписанной окружностей, параллельна стороне $BC$. Докажите, что центр окружности девяти точек треугольника $ABC$ лежит на прямой $MI$, где $M$ - середина стороны $BC$
Решение:
Пусть $K$ и $T$ - точки касания соответственно вписанной и вневписанной окружностей со стороной $BC$. Тогда $MT=MK$ (см. задачу @H4805).
Пусть $H$ - ортоцентр треугольника $ABC$, $D$ - точка вписанной окружности, диаметрально противоположная точке $K$, $E$ - центр окружности девяти точек. Тогда $E$ - середина отрезка $OH$ (см. задачу @H174), точки $A$, $D$ и $T$ лежат на одной прямой (см. задачу ), а $AH=2OM$ (см. задачу 4912).
Поскольку $I$ - середина диаметра $KD$, а $M$ - середина отрезка $KT$, то $MI$ - средняя линия треугольника $DKT$, поэтому $MI\parallel AT$.
Пусть прямая $MI$ пересекает высоту $AA_{1}$ треугольника $ABC$ в точке $Q$. Тогда $MQ\parallel OA$ и $OM\parallel AQ$, поэтому $DAQI$ - параллелограмм. Кроме того, из параллельности $OI$ и $BC$ следует, что $OM=IK=r$, где $r$ радиус вписанной окружности треугольника $ABC$. Значит, $AQ=OM=r$, и
$HQ=AH-AQ=2OM-AQ=2r-r=r=OM.$
Противоположные стороны $OM$ и $HQ$ четырёхугольника $OMHQ$ равны и параллельны, значит, это тоже параллелограмм. Середина $E$ его диагонали $OH$ лежит на диагонали $MQ$, проходящей через точку $I$. Отсюда следует утверждение задачи
В остроугольном треугольнике $ABC$ прямая $OI$, проходящая через центры $O$ и $I$ соответственно описанной и вписанной окружностей, параллельна стороне $BC$. Докажите, что центр окружности девяти точек треугольника $ABC$ лежит на прямой $MI$, где $M$ - середина стороны $BC$
Решение:
Пусть $K$ и $T$ - точки касания соответственно вписанной и вневписанной окружностей со стороной $BC$. Тогда $MT=MK$ (см. задачу @H4805).
Пусть $H$ - ортоцентр треугольника $ABC$, $D$ - точка вписанной окружности, диаметрально противоположная точке $K$, $E$ - центр окружности девяти точек. Тогда $E$ - середина отрезка $OH$ (см. задачу @H174), точки $A$, $D$ и $T$ лежат на одной прямой (см. задачу ), а $AH=2OM$ (см. задачу 4912).
Поскольку $I$ - середина диаметра $KD$, а $M$ - середина отрезка $KT$, то $MI$ - средняя линия треугольника $DKT$, поэтому $MI\parallel AT$.
Пусть прямая $MI$ пересекает высоту $AA_{1}$ треугольника $ABC$ в точке $Q$. Тогда $MQ\parallel OA$ и $OM\parallel AQ$, поэтому $DAQI$ - параллелограмм. Кроме того, из параллельности $OI$ и $BC$ следует, что $OM=IK=r$, где $r$ радиус вписанной окружности треугольника $ABC$. Значит, $AQ=OM=r$, и
$HQ=AH-AQ=2OM-AQ=2r-r=r=OM.$
Противоположные стороны $OM$ и $HQ$ четырёхугольника $OMHQ$ равны и параллельны, значит, это тоже параллелограмм. Середина $E$ его диагонали $OH$ лежит на диагонали $MQ$, проходящей через точку $I$. Отсюда следует утверждение задачи
