ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Окружности $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ касаются внутренним образом окружности $\Omega$ в различных точках $A$ и $B$. Общая внешняя касательная к окружностям $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ касается их в точках $D$ и $E$ соответственно. Докажите, что прямые $AD$ и $BE$ пересекаются на окружности $\Omega$


Решение:




Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Для остальных случаев решение аналогично.
Пусть $O$ - центр окружности $\Omega$, $F$ - точка пересечения прямых $AD$ и $BE$, а прямая $DE$ пересекает в точках $M$ и $N$ касательные к окружности $\Omega$, проведённые в точках $A$ и $B$ соответственно (и совпадающие с касательными к окружностям $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ в этих точках).
Обозначим $\angle DAM=\alpha$, $\angle EBN=\beta$. Тогда

$\angle FDE=\angle ADM=\angle DAM=\alpha,$

$\angle FED=\angle BEN=\angle EBN=\beta,$

$\angle AFB=\angle DFE=180^{\circ}-(\alpha+\beta).$


Поскольку $AOB$ - центральный угол окружности $\Omega$, достаточно доказать, что не содержащая точку $F$ дуга $AB$ окружности $\Omega$ вдвое больше угла $AFB$, т.е. равна $360^{\circ}-2(\alpha+\beta)$.
Действительно,

$\angle OAF=\angle OAM-\angle DAM=90^{\circ}-\alpha,$

$\angle OBF=\angle OBN-\angle EBN=90^{\circ}-\beta.$

Сумма углов четырёхугольника $AFBO$ равна $360^{\circ}$, т.е.

$360^{\circ}=(90^{\circ}-\alpha)+(90^{\circ}-\beta)+(180^{\circ}-(\alpha+\beta))+\angle AOB,$

откуда

$\angle AOB=2(\alpha+\beta).$

Следовательно, не содержащая точку $F$ дуга $AB$ окружности $\Omega$ равна $360^{\circ}-2(\alpha+\beta)$. Отсюда получаем утверждение задачи