Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16443
2026-02-19 
В равносторонний треугольник вписаны две касающиеся окружности (см. рисунок). Найдите угол $KLM$, где $K$, $L$ и $M$ - точки касания
Решение:
Пусть $ABC$ - данный равносторонний треугольник, $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры данных окружностей.
Проведём общую касательную $LH$ данных окружностей (рис.1). Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Обозначим $\angle KLH=\angle LKH=\alpha$. Тогда,
$\angle HLM=\angle CML=90^{\circ}-\angle O_{2}ML=90^{\circ}-\angle O_{2}LM=90^{\circ}-\angle O_{1}LK=90^{\circ}-\angle O_{1}KL=\angle HKL=\alpha.$
Сумма углов четырёхугольника $CKLM$ равна $360^{\circ}$, т.е.
$60^{\circ}+4\alpha=360^{\circ},$
откуда $\alpha=75^{\circ}$. Следовательно, $\angle KLM=2\alpha=150^{\circ}$.
Второй способ. Точка $L$ лежит на отрезке $O_{1}O_{2}$ (см. задачу 5358). Из пятиугольника $CKO_{1}O_{2}M$ находим, что сумма его углов при вершинах $O_{1}$ и $O_{2}$ равна
$540^{\circ}-(60^{\circ}+90^{\circ}+90^{\circ})=300^{\circ}.$
По теореме об угле между касательной и хордой получим
$\angle KLM=\angle KLH+\angle MLH=\frac{1}{2}\angle KO_{1}L+\frac{1}{2}\angle MO_{2}L=\frac{1}{2}(\angle KO_{1}L+\angle MO_{2}L)=\frac{1}{2}\cdot300^{\circ}=150^{\circ}$.
В равносторонний треугольник вписаны две касающиеся окружности (см. рисунок). Найдите угол $KLM$, где $K$, $L$ и $M$ - точки касания
Решение:
Пусть $ABC$ - данный равносторонний треугольник, $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры данных окружностей.
Проведём общую касательную $LH$ данных окружностей (рис.1). Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Обозначим $\angle KLH=\angle LKH=\alpha$. Тогда,
$\angle HLM=\angle CML=90^{\circ}-\angle O_{2}ML=90^{\circ}-\angle O_{2}LM=90^{\circ}-\angle O_{1}LK=90^{\circ}-\angle O_{1}KL=\angle HKL=\alpha.$
Сумма углов четырёхугольника $CKLM$ равна $360^{\circ}$, т.е.
$60^{\circ}+4\alpha=360^{\circ},$
откуда $\alpha=75^{\circ}$. Следовательно, $\angle KLM=2\alpha=150^{\circ}$.
Второй способ. Точка $L$ лежит на отрезке $O_{1}O_{2}$ (см. задачу 5358). Из пятиугольника $CKO_{1}O_{2}M$ находим, что сумма его углов при вершинах $O_{1}$ и $O_{2}$ равна
$540^{\circ}-(60^{\circ}+90^{\circ}+90^{\circ})=300^{\circ}.$
По теореме об угле между касательной и хордой получим
$\angle KLM=\angle KLH+\angle MLH=\frac{1}{2}\angle KO_{1}L+\frac{1}{2}\angle MO_{2}L=\frac{1}{2}(\angle KO_{1}L+\angle MO_{2}L)=\frac{1}{2}\cdot300^{\circ}=150^{\circ}$.
