Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16449
2026-02-19 
В треугольнике $ABC$ угол $ACB$ равен $120^{\circ}$, $M$ - середина стороны $AB$. На сторонах $AC$ и $BC$ отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $AP=PQ=QB$. Найдите угол $PMQ$
Решение:
Первый способ. Пусть точка $X$ симметрична точке $P$ относительно $M$, тогда $BX\parallel AP$ и $BX=AP=BQ$. Кроме того, $\angle QBX=60^{\circ}$, поэтому равнобедренный треугольник $BQX$ - равносторонний. Значит, $QX=BQ=PQ$. Тогда медиана $QM$ равнобедренного треугольника $PQX$ является его высотой. Следовательно, $\angle PMQ=90^{\circ}$.
Второй способ. Пусть точка $N$ - середина $PQ$. Тогда из четырёхугольника $APQB$ получим, что
$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BQ})$
(см. задачу 7642). Значит,
$MN=\overrightarrow{MN}^{2}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AP}^{2}+\overrightarrow{BQ}^{2}+2\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BQ}).$
Учитывая, что
$|\overrightarrow{AP}|=|\overrightarrow{BQ}|=|\overrightarrow{PQ}|~\mbox{и}~\angle(\overrightarrow{AP};\overrightarrow{BQ})=120^{\circ},$
получим
$MN^{2}=\frac{1}{4}(2PQ^{2}+2PQ^{2}\cos120^{\circ})=\frac{1}{4}\left(2PQ^{2}-2PQ^{2}\cdot\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}PQ.$
Значит, $MN=\frac{1}{2}PQ$.
Таким образом, медиана $MN$ треугольника $PMQ$ равна половине стороны $PQ$. Следовательно (см. задачу 4846), $\angle PMQ=90^{\circ}$
В треугольнике $ABC$ угол $ACB$ равен $120^{\circ}$, $M$ - середина стороны $AB$. На сторонах $AC$ и $BC$ отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $AP=PQ=QB$. Найдите угол $PMQ$
Решение:
Первый способ. Пусть точка $X$ симметрична точке $P$ относительно $M$, тогда $BX\parallel AP$ и $BX=AP=BQ$. Кроме того, $\angle QBX=60^{\circ}$, поэтому равнобедренный треугольник $BQX$ - равносторонний. Значит, $QX=BQ=PQ$. Тогда медиана $QM$ равнобедренного треугольника $PQX$ является его высотой. Следовательно, $\angle PMQ=90^{\circ}$.
Второй способ. Пусть точка $N$ - середина $PQ$. Тогда из четырёхугольника $APQB$ получим, что
$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BQ})$
(см. задачу 7642). Значит,
$MN=\overrightarrow{MN}^{2}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AP}^{2}+\overrightarrow{BQ}^{2}+2\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BQ}).$
Учитывая, что
$|\overrightarrow{AP}|=|\overrightarrow{BQ}|=|\overrightarrow{PQ}|~\mbox{и}~\angle(\overrightarrow{AP};\overrightarrow{BQ})=120^{\circ},$
получим
$MN^{2}=\frac{1}{4}(2PQ^{2}+2PQ^{2}\cos120^{\circ})=\frac{1}{4}\left(2PQ^{2}-2PQ^{2}\cdot\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}PQ.$
Значит, $MN=\frac{1}{2}PQ$.
Таким образом, медиана $MN$ треугольника $PMQ$ равна половине стороны $PQ$. Следовательно (см. задачу 4846), $\angle PMQ=90^{\circ}$
