ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Сторона $AD$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равна 5. Точка $M$ делит эту сторону в отношении $AM:MD=1:4$, а прямые $MC$ и $MB$ параллельны сторонам $AB$ и $CD$ соответственно. Найдите сторону $BC$


Решение:


Первый способ. Из условия следует что $AM=1$ и $MD=4$.
Пусть луч $BM$ пересекает описанную окружность четырёхугольника $ABCD$ в точке $K$. Тогда хорды $CD$ и $BK$ параллельны, поэтому $BCDK$ - равнобедренная трапеция (см. задачу 8091). Значит, $KD=BC$ и

$\angle MKD=\angle BKD=\angle KBC=\angle MBC.$


Из параллельности $AB$, $MC$ и теоремы о вписанных углах следует, что

$\angle BMC=\angle ABM=\angle ABK=\angle ADK.$

Значит, треугольники $MKD$ и $CBM$ подобны по двум углам. Тогда

$\frac{KM}{BC}=\frac{DK}{MB}=\frac{BC}{MB},$

откуда $BC^{2}=KM\cdot MB$.
С другой стороны, по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 6098)

$KM\cdot MB=AM\cdot MD=1\cdot4=4.$

Значит, $BC^{2}=4$. Следовательно, $BC=2$.
Второй способ. Обозначим $\angle DCM=\alpha$, $\angle CDM=\beta$ и $\angle CMD=\gamma$. По свойству параллельных прямых

$\angle ABM=\angle BMC=\angle DCM=\alpha,~\angle BAM=\angle CMD=\gamma,$

$\angle AMB=\angle CDM=\beta.$

Пусть $\angle BCM=x$ и $\angle CBM=y$. По свойству вписанного четырёхугольника

$x+\alpha=180^{\circ}-\gamma,$

а т.к.

$(\alpha+x)+y=180^{\circ},$

то

$180^{\circ}-\gamma+y=180^{\circ}~\Rightarrow~y=\gamma.$

Тогда

$x=180^{\circ}-\alpha-y=180^{\circ}-\alpha-\gamma=\beta.$

Таким образом, треугольники $BMA$, $MCB$ и $CDM$ подобны.
Обозначим $AB=p$ и $BM=q$. Тогда треугольники $CDM$ и $BMA$ подобны с коэффициентом $\frac{MA}{DM}=4$, поэтому $CM=4BA=4p$ и $CD=4BM=4q$. Треугольники $BMA$ и $MCB$ подобны с коэффициентом $\frac{AB}{BM}=\frac{p}{q}$, поэтому $\frac{p}{q}=\frac{q}{4p}$, откуда

$q^{2}=4p^{2}~\Rightarrow~q=2p.$

Значит, треугольники $MCB$ и $BMA$ подобны с коэффициентом $\frac{MB}{AB}=\frac{2p}{p}=2$. Следовательно,

$BC=2AM=2\cdot\frac{1}{5}AD=2\cdot\frac{1}{5}\cdot5=2$.