Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16438
2026-02-19 
Внутри треугольника $ABC$ отмечена такая точка $M$, что $AM=MB$, $\angle MBA=10^{\circ}$, $\angle MBC=20^{\circ}$ и $\angle MAC=40^{\circ}$. Найдите угол $MCA$
Решение:
Треугольник $AMB$ равнобедренный, поэтому
$\angle MAB=\angle MBA=10^{\circ}.$
Первый способ. Построим равносторонний треугольник $AKB$ с вершиной $K$, расположенной по одну сторону от прямой $AB$ вместе с точкой $C$. Тогда
$\angle KBC=\angle KBA-\angle CBM-\angle MBA=60^{\circ}-20^{\circ}-10^{\circ}=30^{\circ}=\frac{1}{2}\angle ABK,$
т.е. луч $BC$ - биссектриса угла $ABK$.
Поскольку
$\angle BAC=\angle MAB+\angle MAC=10^{\circ}+40^{\circ}=50^{\circ}$
и
$\angle CAK=\angle BAK-\angle BAC=60^{\circ}-50^{\circ}=10^{\circ},$
а углы $CKA$ и $CAK$ симметричны относительно прямой $BC$, то
$\angle CKA=\angle CAK=10^{\circ}.$
Значит, треугольники $ACK$ и $AMB$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда $CK=CA=BM$, а т.к.
$\angle BKC=60^{\circ}-10^{\circ}=50^{\circ}=30^{\circ}+20^{\circ}=\angle KBM,$
то $BKCM$ - равнобедренная трапеция с основаниями $AK$ и $CM$. Следовательно,
$\angle BCM=\angle KBC=30^{\circ}.$
Кроме того, из симметрии
$\angle BCA=\frac{1}{2}\angle ACK=180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ACK=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\cdot10^{\circ})=100^{\circ}.$
Таким образом,
$\angle MCA=\angle BCA-\angle BCM=100^{\circ}-30^{\circ}=70^{\circ}.$
Второй способ. Построим равносторонний треугольник $AMN$ с вершиной $N$, расположенной по одну сторону от прямой $AB$ вместе с точкой $C$. Тогда
$\angle BMN=360^{\circ}-\angle AMB-\angle AMC=360^{\circ}-160^{\circ}-60^{\circ}=140^{\circ},$
а т.к. $MN=MA=MB$, то треугольник $BMN$ равнобедренный, поэтому
$\angle NBM=\angle BNM=\frac{1}{2}(180^{\circ}-140^{\circ})=20^{\circ}=\angle CBM.$
Следовательно, точки $A$, $C$ и $N$ лежат на одной прямой.
Треугольник $CAN$ равнобедренный, т.к. $AN=AM=AC$. Тогда $ACM$ тоже равнобедренный. Следовательно,
$\angle MCA=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle MAC)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-40^{\circ})=70^{\circ}$.
Внутри треугольника $ABC$ отмечена такая точка $M$, что $AM=MB$, $\angle MBA=10^{\circ}$, $\angle MBC=20^{\circ}$ и $\angle MAC=40^{\circ}$. Найдите угол $MCA$
Решение:
Треугольник $AMB$ равнобедренный, поэтому
$\angle MAB=\angle MBA=10^{\circ}.$
Первый способ. Построим равносторонний треугольник $AKB$ с вершиной $K$, расположенной по одну сторону от прямой $AB$ вместе с точкой $C$. Тогда
$\angle KBC=\angle KBA-\angle CBM-\angle MBA=60^{\circ}-20^{\circ}-10^{\circ}=30^{\circ}=\frac{1}{2}\angle ABK,$
т.е. луч $BC$ - биссектриса угла $ABK$.
Поскольку
$\angle BAC=\angle MAB+\angle MAC=10^{\circ}+40^{\circ}=50^{\circ}$
и
$\angle CAK=\angle BAK-\angle BAC=60^{\circ}-50^{\circ}=10^{\circ},$
а углы $CKA$ и $CAK$ симметричны относительно прямой $BC$, то
$\angle CKA=\angle CAK=10^{\circ}.$
Значит, треугольники $ACK$ и $AMB$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда $CK=CA=BM$, а т.к.
$\angle BKC=60^{\circ}-10^{\circ}=50^{\circ}=30^{\circ}+20^{\circ}=\angle KBM,$
то $BKCM$ - равнобедренная трапеция с основаниями $AK$ и $CM$. Следовательно,
$\angle BCM=\angle KBC=30^{\circ}.$
Кроме того, из симметрии
$\angle BCA=\frac{1}{2}\angle ACK=180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ACK=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\cdot10^{\circ})=100^{\circ}.$
Таким образом,
$\angle MCA=\angle BCA-\angle BCM=100^{\circ}-30^{\circ}=70^{\circ}.$
Второй способ. Построим равносторонний треугольник $AMN$ с вершиной $N$, расположенной по одну сторону от прямой $AB$ вместе с точкой $C$. Тогда
$\angle BMN=360^{\circ}-\angle AMB-\angle AMC=360^{\circ}-160^{\circ}-60^{\circ}=140^{\circ},$
а т.к. $MN=MA=MB$, то треугольник $BMN$ равнобедренный, поэтому
$\angle NBM=\angle BNM=\frac{1}{2}(180^{\circ}-140^{\circ})=20^{\circ}=\angle CBM.$
Следовательно, точки $A$, $C$ и $N$ лежат на одной прямой.
Треугольник $CAN$ равнобедренный, т.к. $AN=AM=AC$. Тогда $ACM$ тоже равнобедренный. Следовательно,
$\angle MCA=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle MAC)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-40^{\circ})=70^{\circ}$.
