Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16451
2026-02-19 
В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle BAD=\angle BCD=90^{\circ}$. На диагонали $BD$ выбраны такие точки $M$ и $N$ так, что $AN\parallel BC$ и $CM\parallel AB$. На сторонах $AD$ и $CD$ соответственно выбраны точки $X$ и $Y$ так, что $\angle XNB=\angle YMB=90^{\circ}$. Докажите, что отрезок $AC$ равен полупериметру треугольника $BXY$
Решение:
Поскольку из точек $A$ и $C$ отрезок $BD$ виден под прямым углом, эти точки лежат на окружности с диаметром $BD$. Поскольку из точек $C$ и $M$ отрезок $BY$ виден под прямым углом, эти точки лежат на окружности с диаметром $BY$. Значит, четырёхугольники $ABCD$ и $BCYM$ вписанные.
Пусть диагональ $AC$ пересекает отрезки $BX$ и $CY$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Тогда
$\angle FYC=\angle BYC=\angle BMC=\angle ABM=\angle ABD=\angle ACD=\angle FCY$
Значит, треугольник $CFY$ равнобедренный, $FC=FY$, и точка $F$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $CY$. Тогда по теореме Фалеса $F$ - середина отрезка $BY$. Аналогично, $E$ - середина отрезка $BX$. Таким образом, $CF$ и $AE$ - медианы прямоугольных треугольников $BCY$ и $BAX$, проведённые из вершин прямых углов, а $EF$ - средняя линия треугольника $BXY$. Следовательно,
$AC=AE+EF+FC=\frac{1}{2}BX+\frac{1}{2}XY+\frac{1}{2}FC=\frac{1}{2}(BX+XY+FC).$
Что и требовалось доказать
В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle BAD=\angle BCD=90^{\circ}$. На диагонали $BD$ выбраны такие точки $M$ и $N$ так, что $AN\parallel BC$ и $CM\parallel AB$. На сторонах $AD$ и $CD$ соответственно выбраны точки $X$ и $Y$ так, что $\angle XNB=\angle YMB=90^{\circ}$. Докажите, что отрезок $AC$ равен полупериметру треугольника $BXY$
Решение:
Поскольку из точек $A$ и $C$ отрезок $BD$ виден под прямым углом, эти точки лежат на окружности с диаметром $BD$. Поскольку из точек $C$ и $M$ отрезок $BY$ виден под прямым углом, эти точки лежат на окружности с диаметром $BY$. Значит, четырёхугольники $ABCD$ и $BCYM$ вписанные.
Пусть диагональ $AC$ пересекает отрезки $BX$ и $CY$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Тогда
$\angle FYC=\angle BYC=\angle BMC=\angle ABM=\angle ABD=\angle ACD=\angle FCY$
Значит, треугольник $CFY$ равнобедренный, $FC=FY$, и точка $F$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $CY$. Тогда по теореме Фалеса $F$ - середина отрезка $BY$. Аналогично, $E$ - середина отрезка $BX$. Таким образом, $CF$ и $AE$ - медианы прямоугольных треугольников $BCY$ и $BAX$, проведённые из вершин прямых углов, а $EF$ - средняя линия треугольника $BXY$. Следовательно,
$AC=AE+EF+FC=\frac{1}{2}BX+\frac{1}{2}XY+\frac{1}{2}FC=\frac{1}{2}(BX+XY+FC).$
Что и требовалось доказать
