ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Два правильных шестиугольника с отношением сторон $1:2$ расположены так, как показано на рисунке. Найдите $AN$, если $CL=6$


Решение:





Первый способ. Через общую вершину $D$ двух шестиугольников и проведём их большие диагонали $AD$ и $DN$ (рис.1). Они образуют со сторонами, сходящимися в вершине $D$, углы $60^{\circ}$, поэтому

$\angle ADN=\angle ADE+\angle NDE=60^{\circ}+60^{\circ}=120^{\circ}=\angle CDL.$

Кроме того, в любом правильном шестиугольнике большая диагональ в два раза больше стороны, значит, треугольник $ADN$ подобен треугольнику $CDL$ с коэффициентом $k=2$. Следовательно,

$AN=2CL=12.$


Второй способ. Введём обозначения так, как показано на рис.2, где $K$ - точка пересечения лучей $AF$ и $DE$. Угол правильного шестиугольника равен $120^{\circ}$, поэтому треугольник $EKF$ равносторонний. Кроме того, точки $F$ и $K$ лежат на отрезке $AM$, причём

$AM=AF+FK+KM=AF+AF+2AF=4AF=2KM.$


Треугольник $AMN$ подобен треугольнику $LDC$ с коэффициентом 2, т.к.

$AM=2KM=2LD,~MN=2DC,~\angle AMN=\angle LDC=120^{\circ}.$

Следовательно,

$AN=2CL=12$.