Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16450
2026-02-19 
В остроугольном треугольнике $ABC$ отрезок $BM$ - медиана, точка $H$ - ортоцентр, точка $P$ - основание перпендикуляра, опущенного из точки $H$ на прямую $BM$. Докажите, что $BM\cdot MP=AM^{2}$
Решение:
Пусть точки $Q$ и $G$ симметричны относительно точки $M$ точкам $P$ и $H$ соответственно. Тогда $G$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$, и $BG$ - диаметр этой окружности (см. задачу 9435). Кроме того, угол $GQM$ симметричен прямому углу $HPM$, поэтому $\angle GQM=90^{\circ}$. Угол $BQG$ прямой, а $BG$ - диаметр, поэтому точка $Q$ лежит на той же окружности. При этом по построению $MQ=MP$. Следовательно, по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 6098)
$BM\cdot MP=BM\cdot MQ=AM\cdot CM=AM^{2}.$
Что и требовалось доказать
В остроугольном треугольнике $ABC$ отрезок $BM$ - медиана, точка $H$ - ортоцентр, точка $P$ - основание перпендикуляра, опущенного из точки $H$ на прямую $BM$. Докажите, что $BM\cdot MP=AM^{2}$
Решение:
Пусть точки $Q$ и $G$ симметричны относительно точки $M$ точкам $P$ и $H$ соответственно. Тогда $G$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$, и $BG$ - диаметр этой окружности (см. задачу 9435). Кроме того, угол $GQM$ симметричен прямому углу $HPM$, поэтому $\angle GQM=90^{\circ}$. Угол $BQG$ прямой, а $BG$ - диаметр, поэтому точка $Q$ лежит на той же окружности. При этом по построению $MQ=MP$. Следовательно, по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 6098)
$BM\cdot MP=BM\cdot MQ=AM\cdot CM=AM^{2}.$
Что и требовалось доказать
