Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16441
2026-02-19 
Дан треугольник $ABC$ и точка $P$ внутри него. Точки $A'$, $B'$, $C'$ - проекции точки $P$ на прямые $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника $A'B'C'$, лежит внутри треугольника $ABC$
Решение:
Пусть $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ - точки симметричные точке $P$ относительно прямых $BC$, $AC$, $AB$ соответственно. Поскольку $CA_{1}=CP=CB_{1}$, серединный перпендикуляр к отрезку $A_{1}B_{1}$ содержит биссектрису угла $A_{1}CB_{1}$, а т.к. $\angle A_{1}CB_{1}=2\angle ACB$, то эта биссектриса проходит между сторонами угла $ACB$. Аналогично, серединные перпендикуляры к отрезкам $AC$ и $BC$ проходят между сторонами углов $ABC$ и $BAC$. Следовательно, центр $Q$ описанной окружности треугольника $ABC$ лежит внутри этого треугольника.
Треугольник $A'B'C'$ получается из треугольника $A_{1}B_{1}C_{1}$ гомотетией с центром $P$ и коэффициентом $\frac{1}{2}$, поэтому центр $O$ описанной окружности треугольника $A'B'C'$ совпадает с серединой отрезка $PQ$, концы которого лежат внутри треугольника $ABC$. Следовательно, точка $O$ лежит внутри треугольника $ABC$
Дан треугольник $ABC$ и точка $P$ внутри него. Точки $A'$, $B'$, $C'$ - проекции точки $P$ на прямые $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника $A'B'C'$, лежит внутри треугольника $ABC$
Решение:
Пусть $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ - точки симметричные точке $P$ относительно прямых $BC$, $AC$, $AB$ соответственно. Поскольку $CA_{1}=CP=CB_{1}$, серединный перпендикуляр к отрезку $A_{1}B_{1}$ содержит биссектрису угла $A_{1}CB_{1}$, а т.к. $\angle A_{1}CB_{1}=2\angle ACB$, то эта биссектриса проходит между сторонами угла $ACB$. Аналогично, серединные перпендикуляры к отрезкам $AC$ и $BC$ проходят между сторонами углов $ABC$ и $BAC$. Следовательно, центр $Q$ описанной окружности треугольника $ABC$ лежит внутри этого треугольника.
Треугольник $A'B'C'$ получается из треугольника $A_{1}B_{1}C_{1}$ гомотетией с центром $P$ и коэффициентом $\frac{1}{2}$, поэтому центр $O$ описанной окружности треугольника $A'B'C'$ совпадает с серединой отрезка $PQ$, концы которого лежат внутри треугольника $ABC$. Следовательно, точка $O$ лежит внутри треугольника $ABC$
