Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16452
2026-02-19 
В трапеции $ABCD$ точка $M$ - середина боковой стороны $AB$, $AD=2BC$. Докажите, что прямая $BD$ проходит через середину отрезка $CM$
Решение:
Первый способ. Пусть $K$ - середина диагонали $BD$. Тогда $MK$ - средняя линия треугольника $ABD$, поэтому $MK=\frac{1}{2}AD=BC$ и прямая $MK$ параллельна $AD$ и $BC$. Значит, $MBCK$ - параллелограмм, и его диагональ $BK$ делит отрезок $CM$ пополам. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть прямые $CM$ и $AD$ пересекаются в точке $E$. Тогда треугольники $CMB$ и $EMA$ равны по стороне и прилежащим к ней углам, поэтому $EM=CM$ и $EA=CB$. Кроме того, в трапеции $EBCD$ точка $F$ пересечения диагоналей делит их в отношении оснований, т.е. $EF:CF=ED:BC=3:1$. Следовательно, $F$ - середина отрезка $CM$. Что и требовалось доказать
В трапеции $ABCD$ точка $M$ - середина боковой стороны $AB$, $AD=2BC$. Докажите, что прямая $BD$ проходит через середину отрезка $CM$
Решение:
Первый способ. Пусть $K$ - середина диагонали $BD$. Тогда $MK$ - средняя линия треугольника $ABD$, поэтому $MK=\frac{1}{2}AD=BC$ и прямая $MK$ параллельна $AD$ и $BC$. Значит, $MBCK$ - параллелограмм, и его диагональ $BK$ делит отрезок $CM$ пополам. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть прямые $CM$ и $AD$ пересекаются в точке $E$. Тогда треугольники $CMB$ и $EMA$ равны по стороне и прилежащим к ней углам, поэтому $EM=CM$ и $EA=CB$. Кроме того, в трапеции $EBCD$ точка $F$ пересечения диагоналей делит их в отношении оснований, т.е. $EF:CF=ED:BC=3:1$. Следовательно, $F$ - середина отрезка $CM$. Что и требовалось доказать
