Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16412
2026-02-17 
Треугольник $ABC$ с тупым углом при вершине $C$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Окружность с центром в точке $P$, описанная около треугольника $AOB$, пересекает прямую $AC$ в точках $A$ и $A_{1}$, прямую $BC$ - в точках $B$ и $B_{1}$, а также серединный перпендикуляр к отрезку $PC$ - в точках $D$ и $E$. Докажите, что точки $D$ и $E$ вместе с центрами описанных окружностей треугольников $A_{1}OC$ и $B_{1}OC$ лежат на одной окружности
Решение:
Пусть $r$, $R$, $R_{1}$ и $R_{2}$ - радиусы окружностей $\omega$, $\Omega$, $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ с центрами соответственно $O$, $P$, $O_{1}$ и $O_{2}$, описанных около треугольников $ABC$, $AOC$, $A_{1}OC$ и $B_{1}OC$.
Поскольку $OB=OA=r$, точка $O$ - середина дуги $AOB$ окружности $\Omega$, значит,
$\angle CA_{1}O=\angle AA_{1}O=\angle BA_{1}O=\angle BAO=\angle ABO.$
Обозначим эти углы через $\alpha$. Тогда по теореме синусов
$R_{1}=\frac{OC}{2\sin\angle CA_{1}O}=\frac{r}{2\sin\alpha},~R=\frac{OB}{2\sin\angle BAO}=\frac{r}{\sin\alpha}.$
Следовательно, $R_{1}=R$. Аналогично, $R_{2}=R$.
Кроме того, поскольку точки $P$ и $C$ симметричны относительно прямой $DE$, то
$CD=PD=PE=CE=R.$
Таким образом,
$CD=CE=R=CO_{1}=CO_{2}.$
Следовательно, точки $D$, $E$, $O_{1}$ и $O_{2}$ лежат на окружности с центром в точке $C$. Что и требовалось
Треугольник $ABC$ с тупым углом при вершине $C$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Окружность с центром в точке $P$, описанная около треугольника $AOB$, пересекает прямую $AC$ в точках $A$ и $A_{1}$, прямую $BC$ - в точках $B$ и $B_{1}$, а также серединный перпендикуляр к отрезку $PC$ - в точках $D$ и $E$. Докажите, что точки $D$ и $E$ вместе с центрами описанных окружностей треугольников $A_{1}OC$ и $B_{1}OC$ лежат на одной окружности
Решение:
Пусть $r$, $R$, $R_{1}$ и $R_{2}$ - радиусы окружностей $\omega$, $\Omega$, $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ с центрами соответственно $O$, $P$, $O_{1}$ и $O_{2}$, описанных около треугольников $ABC$, $AOC$, $A_{1}OC$ и $B_{1}OC$.
Поскольку $OB=OA=r$, точка $O$ - середина дуги $AOB$ окружности $\Omega$, значит,
$\angle CA_{1}O=\angle AA_{1}O=\angle BA_{1}O=\angle BAO=\angle ABO.$
Обозначим эти углы через $\alpha$. Тогда по теореме синусов
$R_{1}=\frac{OC}{2\sin\angle CA_{1}O}=\frac{r}{2\sin\alpha},~R=\frac{OB}{2\sin\angle BAO}=\frac{r}{\sin\alpha}.$
Следовательно, $R_{1}=R$. Аналогично, $R_{2}=R$.
Кроме того, поскольку точки $P$ и $C$ симметричны относительно прямой $DE$, то
$CD=PD=PE=CE=R.$
Таким образом,
$CD=CE=R=CO_{1}=CO_{2}.$
Следовательно, точки $D$, $E$, $O_{1}$ и $O_{2}$ лежат на окружности с центром в точке $C$. Что и требовалось
