ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-17   
В правильном 20-угольнике отмечены четыре последовательные вершины $A$, $B$, $C$ и $D$. Внутри него выбрана точка $E$ так, что $AE=DE$ и $\angle BEC=2\angle CED$. Найдите угол $AEB$


Решение:


Четырёхугольник $ABCD$ - равнобедренная трапеция с углами

$\angle ABC=\angle BCD=\frac{180^{\circ}(20-2)}{20}=162^{\circ}.$

Точка $E$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AD$, а значит, - и к отрезку $BC$. Тогда треугольник $BEC$ равнобедренный. Его высота $EH$ является биссектрисой, поэтому

$\angle HEC=\frac{1}{2}\angle BEC=\angle CED.$

Обозначим эти углы через $\alpha$. Сумма углов четырёхугольника $CDEH$ равна $360^{\circ}$, т.е.

$\angle CDE+2\alpha+90^{\circ}+162^{\circ}=360^{\circ},$

откуда $\angle CDE=108^{\circ}-2\alpha$.
Первый способ. По теореме синусов из треугольника $CED$ получаем $\frac{CD}{\sin\alpha}=\frac{CE}{\sin(108^{\circ}-2\alpha)}$, откуда

$CE\sin\alpha=CD\sin(108^{\circ}-2\alpha).$

Из прямоугольного треугольника $CEH$ получаем

$CE\sin\alpha=CH=\frac{1}{2}CD.$

Из равенства $\frac{1}{2}CD=CD\sin(108^{\circ}-2\alpha)$ находим, что $\sin(108^{\circ}-2\alpha)=\frac{1}{2}$, а т.к. $108^{\circ}-2\alpha\lt150^{\circ}$, то $108^{\circ}-2\alpha=30^{\circ}$. Следовательно,

$\angle AEB=\angle DEC=\alpha=39^{\circ}.$


Второй способ. Опустим перпендикуляр $CK$ на прямую $ED$. Луч $EC$ - биссектриса угла $DEH$, поэтому

$CK=CH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}CD.$

Значит, $\angle CDK=30^{\circ}$, причём точка $K$ лежит на отрезке $DE$, т.к. если это не так, то $\angle CDE=150^{\circ}$, что невозможно, т.к.

$\angle CDE=108^{\circ}-2\alpha\lt150^{\circ}.$

Таким образом,

$108^{\circ}-2\alpha=\angle CDE=\angle CDK=30^{\circ}.$

Следовательно,

$\angle AEB=\angle DEC=\alpha=\frac{1}{2}(108^{\circ}-30^{\circ})=39^{\circ}$.