ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-17   
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ так, что $BD=DE$ и $AD=AC$. На отрезке $AD$ отмечена точка $X$, а на отрезке $AC$ - точка $Y$ так, что $DX=AY$. Докажите, что $EX+DY\geq AB$


Решение:


Первый способ. Треугольник $ACD$ равнобедренный, поэтому $\angle EDX=\angle ACD$. Отразим треугольник $EDX$ относительно прямой $BC$ и приложим к отрезку $DB=ED$, т.е. сдвинем его так, чтобы точка $D$ перешла в $D$. Полученный треугольник $DBZ$ равен треугольнику $EDX$. Тогда

$\angle DBZ=\angle EDX=\angle ACD,~BZ=DX=AY,~DZ=EX.$

Из равенства углов следует, что $BZ\parallel AC$, поэтому отрезки $BZ$ и $AY$ равны и параллельны. Значит, четырёхугольник $ABZY$ - параллелограмм, $AB=YZ$. Следовательно,

$YZ\leq DZ+DY=EX+DY.$

Что и требовалось доказать.
Второй способ. Перевернём треугольник $EDX$ и приложим сторону $DX$ к отрезку $AY$; получится треугольник $WAY$, равный треугольнику $EDX$ (т.е. от луча $AY$ в полуплоскость, не содержащую точку $B$, отложим угол, равный углу $ADC$, а на полученном луче отложим отрезок $AW=DE$). Тогда

$\angle WAY=\angle EDX=\angle ACD,$

поэтому отрезки $AW$ и $BD$ равны и параллельны. Значит, четырёхугольник $ABDW$ - параллелограмм. Следовательно,

$AB=DW\leq DY+YW=DY+EX.$

Что и требовалось доказать