ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-17   
Прямая $l$ проходит через вершину $C$ ромба $ABCD$ и пересекает продолжения его сторон $AB$ и $AD$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Прямые $DX$ и $BY$ вторично пересекают окружность, описанную около треугольника $AXY$, в точках $P$ и $Q$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $PCQ$, касается прямой $l$


Решение:


Пусть прямая $AC$ вторично пересекает описанную окружность треугольника $AXY$ в точке $T$. Поскольку $AC$ - биссектриса угла $DAB$, точка $T$ - середина дуги $XY$. Тогда

$\angle BQT=\angle YQT=\angle XAT=\angle BCA.$

Следовательно, четырёхугольник $QBCT$ вписанный. Аналогично, четырёхугольник $TCDP$ вписанный.
В силу симметрии относительно прямой $AC$ и вписанности четырёхугольника $TCDP$ верно равенство

$\angle ATB=\angle DTC=\angle DPC.$

Тогда

$\angle QCX=\angle BCX-\angle BCQ=\angle AYX-\angle BTQ,$

т.к. $AB\parallel BC$ и четырёхугольник $QBCT$ вписанный. Кроме того,

$\angle AYX-\angle BTQ=(\angle AYQ+\angle QYX)-\angle BTQ=(\angle ATQ+\angle QPX)-\angle BTQ=(\angle ATQ-\angle BTQ)+\angle QPX=\angle ATB+\angle QPX=\angle DPC+\angle QPX=\angle QPC.$

Таким образом, $\angle QCX=\angle QPC$. Тогда прямая $CX$ (т.е. прямая $l$) касается описанной окружности треугольника $PCQ$ (см. задачу 3946). Что и требовалось доказать