ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-17   
В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоту $AH$ и диаметр $AD$ описанной окружности. Точка $I$ - центр вписанной окружности. Докажите, что $\angle BIH=\angle DIC$


Решение:


Положим $\angle ACB=2\gamma$. Рассмотрим поворотную гомотетию с центром $A$, переводящую точку $B$ в точку $D$. Поскольку $\angle ABD=90^{\circ}=\angle AHC$, то

$\angle BAD=90^{\circ}-\angle ADB=90^{\circ}-\angle ACB=\angle HAC$

и

$\frac{AB}{AD}=\sin\angle ADB=\sin\angle ACB=\frac{AH}{AC}.$

Значит, $H$ перейдёт в точку $C$.
Пусть точка $I$ переходит в некоторую точку $P$. Тогда

$\angle APD=\angle AIB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ACB=90^{\circ}+\gamma$

(см. задачу 7881). С другой стороны, треугольники $AIP$ и $AHC$ подобны и

$\angle API=\angle ACH=2\gamma,$

поэтому

$\angle IPD=\angle APD-\angle API=(90^{\circ}+\gamma)-2\gamma=90^{\circ}-\gamma=\angle ACD-\angle ACI=\angle ICD.$

Значит, около четырёхугольника $IPCD$ можно описать окружность (см. задачу 8103). Вписанные в неё углы $DIC$ и $DPC$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому $\angle DIC=\angle DPC$. При этом $\angle DPC=\angle BIH$, т.к. первый из них получается из второго рассматриваемой поворотной гомотетией. Следовательно, $\angle BIH=\angle DIC$. Что и требовалось доказать