Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16420
2026-02-17 
Докажите, что точки пересечения биссектрис противоположных углов трапеции вместе с концами каждого из её оснований лежат на одной окружности. Для определённости будем считать, что точки расположены так, как показано на рисунке
Решение:
Пусть биссектрисы противоположных углов $B$ и $D$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $X$, а биссектрисы углов $A$ и $C$ - в точке $Y$. Кроме того, пусть биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $T$, а биссектрисы углов $C$ и $D$ - в точке $Z$.
Точки $T$ и $Z$ лежат на средней линии трапеции (см. задачу @H1268), поэтому $TZ\parallel AD$, а т.к. биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны (см. задачу @H313), то из точек $T$ и $Z$ отрезок $XY$ виден под прямым углом. Значит, эти точки лежат на окружности с диаметром $XY$.
Вписанные в эту окружность углы $XYT$ и $XZT$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Значит,
$\angle XYA=\angle XYT=\angle XZT=\angle XDA.$
Отрезок $AX$ виден из точек $Y$ и $D$, лежащих по одну сторону от прямой $AX$, под равными углами, следовательно, точки $X$, $Y$, $A$ и $D$ лежат на одной окружности (см. задачу @H12). Аналогично, для точек $X$, $Y$, $B$ и $C$. Что и требовалось доказать
Докажите, что точки пересечения биссектрис противоположных углов трапеции вместе с концами каждого из её оснований лежат на одной окружности. Для определённости будем считать, что точки расположены так, как показано на рисунке
Решение:
Пусть биссектрисы противоположных углов $B$ и $D$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $X$, а биссектрисы углов $A$ и $C$ - в точке $Y$. Кроме того, пусть биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $T$, а биссектрисы углов $C$ и $D$ - в точке $Z$.
Точки $T$ и $Z$ лежат на средней линии трапеции (см. задачу @H1268), поэтому $TZ\parallel AD$, а т.к. биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны (см. задачу @H313), то из точек $T$ и $Z$ отрезок $XY$ виден под прямым углом. Значит, эти точки лежат на окружности с диаметром $XY$.
Вписанные в эту окружность углы $XYT$ и $XZT$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Значит,
$\angle XYA=\angle XYT=\angle XZT=\angle XDA.$
Отрезок $AX$ виден из точек $Y$ и $D$, лежащих по одну сторону от прямой $AX$, под равными углами, следовательно, точки $X$, $Y$, $A$ и $D$ лежат на одной окружности (см. задачу @H12). Аналогично, для точек $X$, $Y$, $B$ и $C$. Что и требовалось доказать
