Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16421
2026-02-17 
В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. На касательной в точке $C$ к описанной окружности треугольника $BMC$ отмечена точка $D$ так, что $\angle CBD=90^{\circ}$. Отрезки $AD$ и $BM$ пересекаются в точке $E$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $BDE$ лежит на прямой $AC$
Решение:
Пусть $N$ - середина отрезка $BD$, $X$ - середина отрезка $CD$, $O$ - точка пересечения прямых $NX$ и $AC$. Прямая $NX$ - серединный перпендикуляр к катету $BD$ прямоугольного треугольника $CBD$, поэтому $X$ - середина гипотенузы $CD$, $BX$ - медиана прямоугольного треугольника $CBD$, проведённая из вершины прямого угла, треугольник $BXC$ равнобедренный с основанием $BC$ (см. задачу 4775), а $XN\parallel BC$.
По теореме об угле между касательной и хордой
$\angle BMC=\angle BCX=\angle CBX=\angle BXN=180^{\circ}-\angle BXO.$
Значит, около четырёхугольника $BMOX$ можно описать окружность. Вписанные в неё углы $BMX$ и $BOX$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны, а т.к. $MX$ - средняя линия треугольника $ACD$, то $ED\parallel MX$. Кроме того, точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$, поэтому $ON$ - биссектриса угла $BOD$. Значит,
$\angle BED=\angle BMX=\angle BOX=\frac{1}{2}\angle BOD.$
Следовательно, точка $O$ - центр описанной окружности треугольника $BDE$ (см. задачу 6313). Отсюда вытекает утверждение задачи
В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. На касательной в точке $C$ к описанной окружности треугольника $BMC$ отмечена точка $D$ так, что $\angle CBD=90^{\circ}$. Отрезки $AD$ и $BM$ пересекаются в точке $E$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $BDE$ лежит на прямой $AC$
Решение:
Пусть $N$ - середина отрезка $BD$, $X$ - середина отрезка $CD$, $O$ - точка пересечения прямых $NX$ и $AC$. Прямая $NX$ - серединный перпендикуляр к катету $BD$ прямоугольного треугольника $CBD$, поэтому $X$ - середина гипотенузы $CD$, $BX$ - медиана прямоугольного треугольника $CBD$, проведённая из вершины прямого угла, треугольник $BXC$ равнобедренный с основанием $BC$ (см. задачу 4775), а $XN\parallel BC$.
По теореме об угле между касательной и хордой
$\angle BMC=\angle BCX=\angle CBX=\angle BXN=180^{\circ}-\angle BXO.$
Значит, около четырёхугольника $BMOX$ можно описать окружность. Вписанные в неё углы $BMX$ и $BOX$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны, а т.к. $MX$ - средняя линия треугольника $ACD$, то $ED\parallel MX$. Кроме того, точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$, поэтому $ON$ - биссектриса угла $BOD$. Значит,
$\angle BED=\angle BMX=\angle BOX=\frac{1}{2}\angle BOD.$
Следовательно, точка $O$ - центр описанной окружности треугольника $BDE$ (см. задачу 6313). Отсюда вытекает утверждение задачи
