Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16419
2026-02-17 
Дан параллелограмм $ABCD$, в котором $\angle ACB=2\angle CAB$. На продолжении диагонали $AC$ за точку $C$ отмечена точка $E$. Докажите, что $BC+BE\gt DE$
Решение:
Положим $\angle BAC=\alpha$, $\angle ACB=2\alpha$. Пусть $D'$ - точка, симметричная точке $D$ относительно прямой $AC$. Тогда
$AB=CD=CD',~BC=AD=AD',$
поэтому треугольники $ABC$ и $CD'A$ равны по трём сторонам. Тогда равны их высоты, опущенные из соответствующих вершин $B$ и $D'$. Значит, $BD'\parallel AC$, и $AD'BC$ - равнобедренная трапеция. Следовательно,
$\angle BD'C=\angle D'CA=\angle DCA=\angle CAB=\alpha,$
$\angle BCD'=\angle ACB-\angle D'CA=\angle ACB-\angle DCA=2\alpha-\alpha=\alpha=\angle BD'C,$
поэтому треугольник $D'BC$ равнобедренный, $BC=D'B$. Следовательно,
$BC+BE=D'B+BE\gt D'E=DE$
(неравенство строгое, поскольку точки $D'$, $B$ и $E$ не лежат на одной прямой, т.к. прямые $D'B$ и $AC$ параллельны, а прямые $BE$ и $AC$ пересекаются в точке $E$)
Дан параллелограмм $ABCD$, в котором $\angle ACB=2\angle CAB$. На продолжении диагонали $AC$ за точку $C$ отмечена точка $E$. Докажите, что $BC+BE\gt DE$
Решение:
Положим $\angle BAC=\alpha$, $\angle ACB=2\alpha$. Пусть $D'$ - точка, симметричная точке $D$ относительно прямой $AC$. Тогда
$AB=CD=CD',~BC=AD=AD',$
поэтому треугольники $ABC$ и $CD'A$ равны по трём сторонам. Тогда равны их высоты, опущенные из соответствующих вершин $B$ и $D'$. Значит, $BD'\parallel AC$, и $AD'BC$ - равнобедренная трапеция. Следовательно,
$\angle BD'C=\angle D'CA=\angle DCA=\angle CAB=\alpha,$
$\angle BCD'=\angle ACB-\angle D'CA=\angle ACB-\angle DCA=2\alpha-\alpha=\alpha=\angle BD'C,$
поэтому треугольник $D'BC$ равнобедренный, $BC=D'B$. Следовательно,
$BC+BE=D'B+BE\gt D'E=DE$
(неравенство строгое, поскольку точки $D'$, $B$ и $E$ не лежат на одной прямой, т.к. прямые $D'B$ и $AC$ параллельны, а прямые $BE$ и $AC$ пересекаются в точке $E$)
