ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-17   
Центр окружности $\omega$ лежит на окружности $\omega$, диаметр $AB$ окружности $\Omega$ касается $\omega$ в точке $C$ так, что $AC=1$ и $BC=16$. Найдите длину общей касательной к окружностям $\omega$ и $\Omega$


Решение:


Обозначим центры окружности $\Omega$ и $\omega$ через $O$ и $Q$, а их радиусы - через $R$ и $r$ соответственно. Из условия следует, что $R=\frac{1}{2}AB=\frac{17}{2}$. Тогда

$CO=OA-AC=R-1=\frac{17}{2}-1=\frac{15}{2},$

а из прямоугольного треугольника $OCQ$ находим, что

$r=QC=\sqrt{OQ^{2}-CO^{2}}=\sqrt{\left(\frac{17}{2}\right)^{2}-\left(\frac{15}{2}\right)^{2}}=4.$

Пусть $DH$ - отрезок общей касательной к окружностям, а $D$ и $H$ - её точки касания с окружностями $\omega$ и $\Omega$ соответственно. В прямоугольной трапеции $OQDH$ известны основания $QD=r=4$, $OH=R=\frac{17}{2}$ и боковая сторона $OQ=R=\frac{17}{2}$. Чтобы найти вторую боковую сторону $DH$, опустим из точки $Q$ перпендикуляр $QM$ на основание $OH$. Поскольку $QDHM$ - прямоугольник, его противоположные стороны равны. Значит,

$DH=MQ=\sqrt{OQ^{2}-OM^{2}}=\sqrt{OQ^{2}-(OH-DQ)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{17}{2}\right)^{2}-\left(\frac{9}{2}\right)^{2}}=2\sqrt{13}$.