Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16334
2026-02-17 
Вписанная окружность $\omega$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $B$ касается его сторон $CA$, $AB$, $BC$ в точках $D$, $E$, $F$ соответственно. Луч $ED$ пересекает прямую, перпендикулярную $BC$, проходящую через вершину $C$, в точке $Y$; $X$ - вторая точка пересечения прямой $FY$ с окружностью $\omega$. Известно, что $EX=2\sqrt{2}XY$. Найдите отношение $AD:DC$
Решение:
Из равенств
$XY=FY-FX=y\sqrt{2}-x\sqrt{2}=(y-x)\sqrt{2},$
$2x=EX=2\sqrt{2}XY=2\sqrt{2}\cdot(y-x)\sqrt{2}=4(y-x)$
получаем, что $y=\frac{3}{2}x$.
По теореме Пифагора
$(x+y)^{2}+(z+x)^{2}=(y+z)^{2}~\Rightarrow~\left(x+\frac{3}{2}z\right)^{2}+(z+x)^{2}=\left(\frac{3}{2}x+z\right)^{2}~\Rightarrow~\frac{25}{4}x^{2}+x^{2}+2xz+z^{2}=z^{2}+3xz+\frac{9}{4}x^{2}~\Rightarrow~x(5x-z)=0,$
а т.к. $x\ne0$, то $z=5x$. Следовательно,
$\frac{AD}{DC}=\frac{z}{y}=\frac{5x}{\frac{3}{2}x}=\frac{10}{3}$.
Вписанная окружность $\omega$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $B$ касается его сторон $CA$, $AB$, $BC$ в точках $D$, $E$, $F$ соответственно. Луч $ED$ пересекает прямую, перпендикулярную $BC$, проходящую через вершину $C$, в точке $Y$; $X$ - вторая точка пересечения прямой $FY$ с окружностью $\omega$. Известно, что $EX=2\sqrt{2}XY$. Найдите отношение $AD:DC$
Решение:
Из равенств
$XY=FY-FX=y\sqrt{2}-x\sqrt{2}=(y-x)\sqrt{2},$
$2x=EX=2\sqrt{2}XY=2\sqrt{2}\cdot(y-x)\sqrt{2}=4(y-x)$
получаем, что $y=\frac{3}{2}x$.
По теореме Пифагора
$(x+y)^{2}+(z+x)^{2}=(y+z)^{2}~\Rightarrow~\left(x+\frac{3}{2}z\right)^{2}+(z+x)^{2}=\left(\frac{3}{2}x+z\right)^{2}~\Rightarrow~\frac{25}{4}x^{2}+x^{2}+2xz+z^{2}=z^{2}+3xz+\frac{9}{4}x^{2}~\Rightarrow~x(5x-z)=0,$
а т.к. $x\ne0$, то $z=5x$. Следовательно,
$\frac{AD}{DC}=\frac{z}{y}=\frac{5x}{\frac{3}{2}x}=\frac{10}{3}$.
