ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-17   
Пусть $PT$ и $PB$ - две касательные к окружности, $AB$ - диаметр, проходящий через точку $B$, а $TH$ - перпендикуляр, опущенный из точки $T$ на $AB$. Докажите, что прямая $AP$ делит пополам отрезок $TH$


Решение:


Пусть $X$ - точка пересечения прямой $AP$ с отрезком $TH$, $O$ - центр окружности, $R$ - её радиус.
Прямые $TH$ и $PB$ перпендикулярны одной и той же прямой $AB$, поэтому они параллельны. Тогда треугольник $AHX$ подобен треугольнику $ABP$. Значит,

$\frac{HX}{AH}=\frac{BP}{AB}=\frac{TP}{2R}.$

Поскольку

$\angle HBT=\angle OBT=\angle OTB=\angle OPT$

как углы при основании $BT$ равнобедренного треугольника $BOT$, прямоугольные треугольники $HTB$ и $TOP$ тоже подобны. Значит,

$\frac{HT}{HB}=\frac{TO}{TP}=\frac{R}{TP}.$


Учитывая, что $TH^{2}=AH\cdot BH$ по свойству высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, получим

$\frac{HX}{TH}=\frac{HX}{TH}\cdot\frac{TH}{TH}=\frac{HX\cdot TH}{TH^{2}}=\frac{HX\cdot TH}{AH\cdot BH}=\frac{HX}{AH}\cdot\frac{HT}{HB}=\frac{PT}{2R}\cdot\frac{R}{TP}=\frac{1}{2}.$

Следовательно, $X$ - середина отрезка $TH$. Что и требовалось доказать