Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16338
2026-02-17 
На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ построены квадраты $AKLC$ и $BCMN$. Докажите, что описанные около них окружности пересекаются на окружности с диаметром $AB$, и центры этих трёх окружностей - вершины равнобедренного прямоугольного треугольника
Решение:
Пусть $P$ и $Q$ - центры соответственно первого и второго квадратов. Рассмотрим случай, когда квадраты расположены вне треугольника $ABC$. Тогда равнобедренные прямоугольные треугольники $APC$ и $BQC$ удовлетворяют условию задачи 4728 для $\beta=45^{\circ}$. Значит, если $K$ - середина стороны $AB$, то
$KP=KQ,~\angle PKQ=180^{\circ}-2\beta=180^{\circ}-2\cdot45^{\circ}=90^{\circ}.$
Следовательно, треугольник $PKQ$ равнобедренный и прямоугольный.
Пусть $D$ - точка пересечения описанных окружностей квадратов. Тогда
$\angle ADC=2\angle KPL=3\cdot45^{\circ}=135^{\circ},~\angle BDC=2\angle MQN=3\cdot45^{\circ}=135^{\circ},$
поэтому
$\angle ADB=360^{\circ}-\angle ADC-\angle ADC=360^{\circ}-135^{\circ}-135^{\circ}=90^{\circ}.$
Следовательно, точка $D$ лежит на окружности с диаметром $AB$
На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ построены квадраты $AKLC$ и $BCMN$. Докажите, что описанные около них окружности пересекаются на окружности с диаметром $AB$, и центры этих трёх окружностей - вершины равнобедренного прямоугольного треугольника
Решение:
Пусть $P$ и $Q$ - центры соответственно первого и второго квадратов. Рассмотрим случай, когда квадраты расположены вне треугольника $ABC$. Тогда равнобедренные прямоугольные треугольники $APC$ и $BQC$ удовлетворяют условию задачи 4728 для $\beta=45^{\circ}$. Значит, если $K$ - середина стороны $AB$, то
$KP=KQ,~\angle PKQ=180^{\circ}-2\beta=180^{\circ}-2\cdot45^{\circ}=90^{\circ}.$
Следовательно, треугольник $PKQ$ равнобедренный и прямоугольный.
Пусть $D$ - точка пересечения описанных окружностей квадратов. Тогда
$\angle ADC=2\angle KPL=3\cdot45^{\circ}=135^{\circ},~\angle BDC=2\angle MQN=3\cdot45^{\circ}=135^{\circ},$
поэтому
$\angle ADB=360^{\circ}-\angle ADC-\angle ADC=360^{\circ}-135^{\circ}-135^{\circ}=90^{\circ}.$
Следовательно, точка $D$ лежит на окружности с диаметром $AB$
