В треугольнике $ABC$ биссектрисы $AA_{1}$ и $CC_{1}$ пересекаются в точке $I$. Прямая, проходящая через точку $B$ параллельно $AC$, пересекает лучи $AA_{1}$ и $CC_{1}$ в точках $A_{2}$ и $C_{2}$ соответственно. Точка $O_{a}$ - центр описанной окружности треугольника $AC_{1}C_{2}$, точка $O_{c}$ - центр описанной окружности треугольника $CA_{1}A_{2}$. Докажите, что $\angle O_{a}BO_{c}=\angle AIC$
Подробнее
Пусть $I$ - центр вписанной окружности остроугольного треугольника $ABC$, $M$ и $N$ - точки касания вписанной окружности сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Через точку $I$ проведена прямая $l$, параллельная стороне $AC$, и на неё опущены перпендикуляры $AP$ и $CQ$. Докажите, что точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности
Подробнее
На сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ отметили точки $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. Оказалось, что $KLMN$ - параллелограмм. Найдите отношение $KP:MQ$, где $P$ и $Q$ середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно
Подробнее
Из отрезков, равных 3, 5, 7 и 9, составлен четырёхугольник, в который вписана окружность. К ней проведены две касательные: одна пересекает одну пару соседних сторон четырёхугольника, а другая - пару оставшихся. Найдите модуль разности периметров треугольников, отсечённых от четырёхугольника этими касательными
Подробнее
Вычислите площадь общей части двух ромбов, из которых у первого диагонали равны 2 и 3, а второй получается поворотом первого на $90^{\circ}$ относительно его центра
Подробнее
Окружность радиуса $r$ вписана в треугольник $ABC$, $P$ - точка касания окружности со стороной $AB$, точка $M$ - середина стороны $AB$.
а) Докажите, что $MP=\frac{|AC-CB|}{2}$.
б) Найдите углы треугольника $ABC$, если $MC=MA$, и $MP=\frac{r}{2}$
Подробнее
Найдите наименьшее значение параметра $a$, при котором уравнение
$\sqrt{(x+8)^{2}+(x+2)^{2}}+\sqrt{(x+14)^{2}+(x+3)^{2}}=13a$
имеет хотя бы одно решение
Подробнее
Точки $E$ и $N$ лежат на сторонах соответственно $AB$ и $CD$ квадрата $ABCD$, а точки $F$ и $M$ - на стороне $BC$, причём треугольники $AMN$ и $DEF$ равносторонние. Отрезки $AN$ и $DE$ пересекаются в точке $P$, а отрезки $AM$ и $EF$ - в точке $Q$. Докажите, что $PQ=FM$
Подробнее
В треугольнике $ABC$, основание $AB$ которого лежит на оси абсцисс, проведены высоты $AM$ и $BN$. Найдите $AB$, если известны координаты точек $M(2;2)$ и $N(4;4)$
Подробнее
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $AE:EB=1:3$ и $CD:DB=1:2$. Найдите величину $\frac{EF}{EC}+\frac{AF}{FD}$
Подробнее
В неравнобедренном треугольнике $ABC$ один из углов равен разности двух других и один из углов в два раза больше другого. Биссектрисы углов $A$, $B$ и $C$ пересекают описанную вокруг треугольника окружность в точках $O$, $M$ и $L$ соответственно. Найдите площадь треугольника $LOM$, если площадь треугольника $ABC$ равна 2
Подробнее
Трапеция $ABCD$ с основанием $AD=6$ вписана в окружность. Касательная к окружности в точке $A$ пересекает прямые $BD$ и $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $AN$, если $AB\perp MD$ и $AM=3$
Подробнее
В треугольнике $ABC$ проведены высоты $BM$ и $CN$, при этом $BC=4$, $MN=2$. В треугольник вписана окружность с центром $O$. Какое наибольшее значение может принимать при данных условиях радиус окружности, описанной около треугольника $BOC$
Подробнее
В трапеции $ABCD$ основание $AD$ в четыре раза больше основания $BC$, а угол $BCD$ в два раза больше угла $BAD$. Найдите отношение $CD:PQ$, где $PQ$ - средняя линия трапеции
Подробнее
На медиане $AM$ треугольника $ABC$ выбрана такая точка $P$, что $AP:PM=3:2$. В каком отношении прямая $BP$ делит сторону $AC$
Подробнее
