ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-17   
Центр окружности $\omega$ лежит на окружности $\Omega$, хорда $AB$ окружности $\Omega$ касается $\omega$ в точке $C$ так, что $AC:CB=17:7$. Найдите $AB$, если известно, что радиусы $\omega$ и $\Omega$ равны 7 и 13 соответственно


Решение:


Пусть точки $D$ и $E$ - центры окружностей $\omega$ и $\Omega$ соответственно, а точки $K$ и $M$ - проекции точки $E$ на прямые $CD$ и $AB$ соответственно. Поскольку окружность $\omega$ касается прямой $AB$ в точке $C$, угол $KCM$ прямой; тогда в четырёхугольнике $CMEK$ три угла прямые, и он прямоугольник. Тогда $CK=EM$ и $EK=CM$.
Пусть $AC=17x$, $BC=7x$. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, поэтому

$AM=BM=12x,~MC=BM-BC=12x-7x=5x.$

Из прямоугольного треугольника $AME$ с гипотенузой $EA=13$ и катетом $AM=12x$ и получаем

$EM=\sqrt{EA^{2}-AM^{2}}=\sqrt{169-144x^{2}},$

а из прямоугольного треугольника $DKE$ с гипотенузой $DE=13$ и катетом

$DK=DC-CK=DC-EM=7-\sqrt{169-144x^{2}}$

получаем

$ED^{2}=DK^{2}+EK^{2}=DK^{2}+MC^{2},$

или

$169=(7-\sqrt{169-144x^{2}})^{2}+25x^{2}.$

После очевидных упрощений получаем уравнение

$289x^{4}+338x^{2}-627=0.$

Условию задачи удовлетворяет только его положительный корень $x=1$. Следовательно,

$AB=24x=24$.