Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16344
2026-02-17 
Дан треугольник $ABC$. Пусть точка $I$ - центр его вписанной окружности, а точки $P$ и $Q$ - середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Оказалось, что $\angle PIQ+\angle BIC=180^{\circ}$. Найдите длину отрезка $BC$, если $AB=20$ и $AC=14$
Решение:
Из условия следует, что $\angle BIP+\angle CIQ=180^{\circ}$. Кроме того, $PQ\parallel BC$ как средняя линия треугольника.
Проведём к вписанной окружности треугольника $ABC$ касательную, параллельную $BC$. Обозначим через $P'$ и $Q'$ точки пересечения этой касательной со сторонами $AB$ и $AC$ соответственно. Поскольку в трапецию $BP'Q'C$ вписана окружность с центром $I$, то $I$ - точка пересечения биссектрис всех четырёх углов этой трапеции, а т.к. $P'Q'\parallel BC$, то
$\angle P'Q'C+\angle BCQ'=180^{\circ}.$
Тогда
$\angle IQ'C+\angle ICQ'=90^{\circ}~\Rightarrow~\angle CIQ'=90^{\circ}.$
Аналогично $\angle BIP'=90^{\circ}$. Тогда
$\angle BIP'+\angle CIQ'=180^{\circ}=\angle BIP+\angle CIQ=180^{\circ}.$
Если отрезок $P'Q'$ находится выше отрезка $PQ$, то $\angle BIP'\gt\angle BIP$ и $\angle CIQ'\gt\angle CIQ$, а если ниже, то $\angle BIP'\lt\angle BIP$ и $\angle CIQ'\lt\angle CIQ$. В обоих этих случаях полученное равенство невозможно. Следовательно, точки $P'$ и $Q'$ совпадают с точками $P$ и $Q$ соответственно, и $PQCB$ - описанная трапеция.
Поскольку $BP=AP=10$ и $CQ=AQ=7$, а также $PQ=\frac{1}{2}BC$, то по свойству описанного четырёхугольника
$10+7=BP+CQ=PQ+BC=\frac{1}{2}BC+BC=\frac{3}{2}BC.$
Следовательно,
$BC=\frac{2}{3}\cdot17=\frac{34}{3}$.
Дан треугольник $ABC$. Пусть точка $I$ - центр его вписанной окружности, а точки $P$ и $Q$ - середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Оказалось, что $\angle PIQ+\angle BIC=180^{\circ}$. Найдите длину отрезка $BC$, если $AB=20$ и $AC=14$
Решение:
Из условия следует, что $\angle BIP+\angle CIQ=180^{\circ}$. Кроме того, $PQ\parallel BC$ как средняя линия треугольника.
Проведём к вписанной окружности треугольника $ABC$ касательную, параллельную $BC$. Обозначим через $P'$ и $Q'$ точки пересечения этой касательной со сторонами $AB$ и $AC$ соответственно. Поскольку в трапецию $BP'Q'C$ вписана окружность с центром $I$, то $I$ - точка пересечения биссектрис всех четырёх углов этой трапеции, а т.к. $P'Q'\parallel BC$, то
$\angle P'Q'C+\angle BCQ'=180^{\circ}.$
Тогда
$\angle IQ'C+\angle ICQ'=90^{\circ}~\Rightarrow~\angle CIQ'=90^{\circ}.$
Аналогично $\angle BIP'=90^{\circ}$. Тогда
$\angle BIP'+\angle CIQ'=180^{\circ}=\angle BIP+\angle CIQ=180^{\circ}.$
Если отрезок $P'Q'$ находится выше отрезка $PQ$, то $\angle BIP'\gt\angle BIP$ и $\angle CIQ'\gt\angle CIQ$, а если ниже, то $\angle BIP'\lt\angle BIP$ и $\angle CIQ'\lt\angle CIQ$. В обоих этих случаях полученное равенство невозможно. Следовательно, точки $P'$ и $Q'$ совпадают с точками $P$ и $Q$ соответственно, и $PQCB$ - описанная трапеция.
Поскольку $BP=AP=10$ и $CQ=AQ=7$, а также $PQ=\frac{1}{2}BC$, то по свойству описанного четырёхугольника
$10+7=BP+CQ=PQ+BC=\frac{1}{2}BC+BC=\frac{3}{2}BC.$
Следовательно,
$BC=\frac{2}{3}\cdot17=\frac{34}{3}$.
