Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16339
2026-02-17 
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ биссектрисы углов $A$ и $C$ параллельны, а биссектрисы углов $B$ и $D$ пересекаются под углом $46^{\circ}$, как изображено на рисунке. Сколько градусов составляет острый угол между биссектрисами углов $A$ и $B$
Решение:
Первый способ. Пусть $K$, $L$, $M$ и $N$ - точки пересечения биссектрис (см. рис.1), а углы при вершинах $A$, $B$, $C$ и $D$ четырёхугольника $ABCD$ равны $2\alpha$, $2\beta$, $2\gamma$ и $2\delta$ соответственно. Тогда
$2\alpha+2\beta+2\gamma+2\delta=360^{\circ}~\Rightarrow~\alpha+\beta+\gamma+\delta=180^{\circ}.$
Поскольку $AL\parallel CM$, а $ALM$ - внешний угол треугольника $ABL$, в треугольнике $KMN$ получаем
$\angle KMN=\angle ALM=\alpha+\beta,$
а т.к.
$\angle KNM=\angle CND=180^{\circ}-\gamma-\delta=\alpha+\beta,$
то треугольник $KMN$ равнобедренный. Следовательно,
$\angle KMN=\frac{180^{\circ}-\angle MKN}{2}=\frac{180^{\circ}-46^{\circ}}{2}=67^{\circ}.$
Второй способ. Зафиксируем угол $A$ и перенесём параллельно угол $C$ так, чтобы вершина $C$ оказалась на биссектрисе угла $A$. (Или более формально, отметим на биссектрисе угла $A$ точку $C'$ и проведём из неё лучи, сонаправленные лучам $CB$ и $CD$; пересечения этих лучей с лучами соответственно $AB$ и $AD$ обозначим через $B'$ и $D'$, как на рис.2.)
Стороны нового четырёхугольника $AB'C'D'$ соответственно параллельны сторонам исходного; значит, и углы между этими сторонами такие же. Следовательно, биссектрисы нового четырёхугольника параллельны соответствующим биссектрисам исходного, и углы между ними тоже сохранились. Но это означает, что биссектрисы углов $A$ и $C'$ совпадают, т.е. вся новая картинка симметрична относительно прямой $AC'$ (из равенства треугольников $AB'C'$ и $AD'C'$ по общей стороне и прилежащим к ней углам). Из симметрии следует, что другие две биссектрисы пересекаются на прямой $AC'$ и образуют с ней равные углы. Тогда искомый угол после удвоения будет дополнять $46^{\circ}$ до развёрнутого. Следовательно, он равен
$\frac{1}{2}(180^{\circ}-46^{\circ})=67^{\circ}$.
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ биссектрисы углов $A$ и $C$ параллельны, а биссектрисы углов $B$ и $D$ пересекаются под углом $46^{\circ}$, как изображено на рисунке. Сколько градусов составляет острый угол между биссектрисами углов $A$ и $B$
Решение:
Первый способ. Пусть $K$, $L$, $M$ и $N$ - точки пересечения биссектрис (см. рис.1), а углы при вершинах $A$, $B$, $C$ и $D$ четырёхугольника $ABCD$ равны $2\alpha$, $2\beta$, $2\gamma$ и $2\delta$ соответственно. Тогда
$2\alpha+2\beta+2\gamma+2\delta=360^{\circ}~\Rightarrow~\alpha+\beta+\gamma+\delta=180^{\circ}.$
Поскольку $AL\parallel CM$, а $ALM$ - внешний угол треугольника $ABL$, в треугольнике $KMN$ получаем
$\angle KMN=\angle ALM=\alpha+\beta,$
а т.к.
$\angle KNM=\angle CND=180^{\circ}-\gamma-\delta=\alpha+\beta,$
то треугольник $KMN$ равнобедренный. Следовательно,
$\angle KMN=\frac{180^{\circ}-\angle MKN}{2}=\frac{180^{\circ}-46^{\circ}}{2}=67^{\circ}.$
Второй способ. Зафиксируем угол $A$ и перенесём параллельно угол $C$ так, чтобы вершина $C$ оказалась на биссектрисе угла $A$. (Или более формально, отметим на биссектрисе угла $A$ точку $C'$ и проведём из неё лучи, сонаправленные лучам $CB$ и $CD$; пересечения этих лучей с лучами соответственно $AB$ и $AD$ обозначим через $B'$ и $D'$, как на рис.2.)
Стороны нового четырёхугольника $AB'C'D'$ соответственно параллельны сторонам исходного; значит, и углы между этими сторонами такие же. Следовательно, биссектрисы нового четырёхугольника параллельны соответствующим биссектрисам исходного, и углы между ними тоже сохранились. Но это означает, что биссектрисы углов $A$ и $C'$ совпадают, т.е. вся новая картинка симметрична относительно прямой $AC'$ (из равенства треугольников $AB'C'$ и $AD'C'$ по общей стороне и прилежащим к ней углам). Из симметрии следует, что другие две биссектрисы пересекаются на прямой $AC'$ и образуют с ней равные углы. Тогда искомый угол после удвоения будет дополнять $46^{\circ}$ до развёрнутого. Следовательно, он равен
$\frac{1}{2}(180^{\circ}-46^{\circ})=67^{\circ}$.
