ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-17   
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\gamma$. Оказалось, что окружности, построенные на отрезках $AB$ и $CD$ как на диаметрах, касаются друг друга внешним образом в точке $S$. Пусть точки $M$ и $N$ - середины отрезков $AB$ и $CD$ соответственно. Докажите, что перпендикуляр $l$ к прямой $MN$, восставленный в точке $M$, пересекает прямую $CS$ в точке, лежащей на $\gamma$


Решение:


Обозначим окружности с диаметрами $AB$ и $CD$ через $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ соответственно. Заметим, что точка $S$ лежит на отрезке $MN$ (см. задачу 5357). Пусть прямые $CS$ и $DS$ пересекают прямую $l$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Отрезок $CD$ - диаметр окружности $\omega_{2}$, поэтому

$\angle PSQ=\angle CSD=90^{\circ}.$

В прямоугольном треугольнике $PSQ$ отрезок $SM$ - высота, поэтому

$\angle MSP=90^{\circ}-\angle SPM=\angle SQP.$

С другой стороны, $NS=NC$, поэтому

$\angle SCD=\angle CSN=\angle MSP.$

Таким образом,

$\angle SCD=\angle MSP=\angle SQP,$

следовательно (см. задачу 8103), точки $P$, $Q$, $C$ и $D$ лежат на одной окружности $\gamma'$.
Пусть теперь прямая $MC$ пересекает окружности $\gamma$ и $\gamma'$ в точках $X$ и $X'$ соответственно (точка $M$ лежит на отрезках $CX$ и $CX'$). Тогда (см. задачу 6098)

$MC\cdot MX=MA\cdot MB=MS^{2},$

поскольку $M$ - центр окружности $\omega_{1}$. С другой стороны,

$MC\cdot MX'=MP\cdot MQ=MS^{2}$

(см. задачу 6185). Значит,

$MC\cdot MX=MS^{2}=MC\cdot MX',$

и точки $X$ и $X'$ совпадают. При этом точка $X$ отлична от $C$ и $D$, т.к. $M$ не лежит на $CD$, поэтому окружности $\gamma$ и $\gamma_{1}$ имеют три общих точки $C$, $D$, $X$, а значит, они совпадают. Следовательно, точка $P$ лежит на окружности $\gamma$. Что и требовалось доказать