Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16345
2026-02-17 
Точка $M$ - середина основания $BC$ трапеции $ABCD$. На основании $AD$ выбрана точка $P$. Луч $PM$ пересекает луч $DC$ в точке $Q$. Перпендикуляр к основанию $AD$, проведённый через точку $P$, пересекает отрезок $BQ$ в точке $K$. Известно, что $\angle KQD=64^{\circ}$ и $\angle KDQ=38^{\circ}$. Сколько градусов составляет угол $KBC$
Решение:
Пусть прямые $AD$ и $BQ$ пересекаются в точке $X$. Продолжение медианы $QM$ треугольника $BQC$ пересекает сторону $DX$ треугольника $DQX$, параллельную $BC$, в точке $P$, поэтому $P$ - середина стороны $DX$ (см. задачу 6080).
Высота $KP$ треугольника $DKX$ является его медианой, значит, этот треугольник равнобедренный, $DK=KX$. Поскольку $DKQ$ - внешний угол равнобедренного треугольника $DKX$, а $DX\parallel BC$, то
$\angle KBC=\angle KXD=\frac{1}{2}\angle DKQ=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle KQD-\angle KDQ)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-64^{\circ}-38^{\circ})=\frac{1}{2}\cdot78^{\circ}=39^{\circ}$.
Точка $M$ - середина основания $BC$ трапеции $ABCD$. На основании $AD$ выбрана точка $P$. Луч $PM$ пересекает луч $DC$ в точке $Q$. Перпендикуляр к основанию $AD$, проведённый через точку $P$, пересекает отрезок $BQ$ в точке $K$. Известно, что $\angle KQD=64^{\circ}$ и $\angle KDQ=38^{\circ}$. Сколько градусов составляет угол $KBC$
Решение:
Пусть прямые $AD$ и $BQ$ пересекаются в точке $X$. Продолжение медианы $QM$ треугольника $BQC$ пересекает сторону $DX$ треугольника $DQX$, параллельную $BC$, в точке $P$, поэтому $P$ - середина стороны $DX$ (см. задачу 6080).
Высота $KP$ треугольника $DKX$ является его медианой, значит, этот треугольник равнобедренный, $DK=KX$. Поскольку $DKQ$ - внешний угол равнобедренного треугольника $DKX$, а $DX\parallel BC$, то
$\angle KBC=\angle KXD=\frac{1}{2}\angle DKQ=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle KQD-\angle KDQ)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-64^{\circ}-38^{\circ})=\frac{1}{2}\cdot78^{\circ}=39^{\circ}$.
