ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-17   
Дан параллелограмм $ABCD$, точка $M$ - середина стороны $BC$. На стороне $AD$ нашлась такая точка $K$, что $BK=BM$ и четырёхугольник $KBMD$ вписанный.
а) Чему равна длина отрезка $MD$, если $AD=17$?
б) Сколько градусов составляет угол $KMD$, если $\angle BAD=46^{\circ}$


Решение:


а) Четырёхугольник $KBMD$ - вписанная трапеция, поэтому она равнобокая, $MD=BK$. Следовательно,

$MD=BK=BM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD=8{,}5.$


б) Обозначим $\angle ADB=\alpha$. Поскольку $MD=MB=MC$, угол $BDC$ прямой (см. задачу 4846), а т.к. $AB\parallel CD$, то угол $ABD$ тоже прямой. Значит,

$\angle BAD=90^{\circ}-\angle ADB,~\mbox{или}~46^{\circ}=90^{\circ}-\alpha,$

откуда $\alpha=44^{\circ}$.
Из параллельности $BC$ и $AD$, равнобедренной трапеции $KBMD$ и равнобедренного треугольника $BMD$ получаем, что

$\angle BMK=\angle DBM=\angle ADB=\alpha,~\angle BDM=\angle DBM=\alpha.$

Следовательно,

$\angle KMD=\angle BMD-\angle BMK=(180^{\circ}-2\alpha)-\alpha=180^{\circ}-3\alpha=180^{\circ}-3\cdot44^{\circ}=48^{\circ}$.