Тонкий однородный стержень длины $l$ и массы $m$ может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов (рис.). Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают. Определить угловые ускорения и угловые скорости стержня в начальный момент и при прохождении стержнем положения равновесия. Определить для этих положений стержня модуль и направление силы нормальной реакции $N$, действующей со стороны оси на стержень.
Подробнее
На полый тонкостенный цилиндр массы $m$ намотана нить (тонкая и невесомая) (рис.). Свободный конец ее прикреплен к потолку лифта, движущегося вниз с ускорением $\vec{a}_{л}$. Цилиндр предоставлен сам себе. Найти ускорение цилиндра относительно лифта и силу натяжения нити. Во время движения нить считать вертикальной.
Подробнее
По горизонтальному столу может катиться без скольжения цилиндр массы $m$, на который намотана нить. К свободному концу нити, переброшенному через легкий блок, подвешен груз той же массы $m$ (рис.). Система предоставлена сама себе. Найти ускорение груза и силу трения между цилиндром и столом. Задачу решить для полого и сплошного цилиндров.
Подробнее
На скамье Жуковского сидит человек и держит в вытянутых руках гири по 10 кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси вращения скамьи $l_{1} = 50 см$. Скамья вращается с частотой $n_{1} = 1 с^{-1}$. Как изменится частота вращения скамьи и какую работу произведет человек, если он сожмет руки так, что расстояние от каждой гири до оси уменьшится до $l_{2} = 20 см$? Суммарный момент инерции человека и скамьи относительно оси вращения $J_{0} = 2,5 кг \cdot м^{2}$. Ось вращения проходит через центр масс человека и скамьи.
Подробнее
На гладкой горизонтальной плоскости лежит тонкий однородный стержень длины $l = 1 м$ и массы $m_{1}$. По плоскости перпендикулярно стержню со скоростью $v = 20 м/с$ скользит шарик массы $m = m_{1}/3$ (рис.). Как и с какой скоростью будет двигаться после удара стержень, если шарик после удара останавливается? Рассмотреть два случая: 1) шарик ударяется в середину стержня; 2) точка удара отстоит от середины на расстоянии $x_{0} = l/4$. Найти долю энергии, которая израсходовалась на работу против сил неупругой деформации.
Подробнее
Тонкая прямоугольная пластина может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси $aa^{ \prime}$, совпадающей с одной из ее коротких сторон (рис.). Длинная сторона $b = 0,6 м$. В точку, находящуюся ниже оси вращения на расстоянии $x = 0,5 м$, ударяет пуля массы $m_{1} = 10 г$, летевшая горизонтально перпендикулярно пластине со скоростью $v = 200 м/с$. Масса пластины $m_{2} = 8 кг$, момент инерции относительно заданной оси $J = \frac{1}{3} m_{2} b^{2}$. Какую угловую скорость приобретает пластина, если удар абсолютно упругий? При каком значении х в момент удара не возникнет горизонтальная сила реакции оси, действующая на пластину?
Подробнее
Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси X. По прошествии времени $t_{1} = 0,1 с$ от начала движения смещение точки от положения равновесия $x_{1} = 5 см$, скорость $v_{1x} = 62 см/с$, ускорение $a_{1x} = - 540 см/с^{2}$. Определить: 1) амплитуду, циклическую частоту и начальную фазу колебаний; 2) смещение, скорость и ускорение в начальный момент ($t = 0$).
Подробнее
Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси ОХ с периодом $T$ и амплитудой $X_{0}$. За какое время, считая от начала движения, она пройдет расстояние $s = X_{0}/2; X_{0}$ (рис.)? Начальная фаза: 1) $\alpha_{0} = 0$; 2) $\pi /2$.
Подробнее
Тонкий однородный стержень длины $l = 1 м$ может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, отстоящей на расстоянии $x = 20 см$ от его середины (рис.). Определить период колебаний стержня, если максимальный угол отклонения от положения равновесия $\phi \leq 8^{ \circ}$. Как зависит период колебаний от расстояния $x$? Построить примерный график зависимости $T(x)$.
Подробнее
К вертикальной невесомой пружине, верхний конец которой закреплен, подвешен груз массы $m = 0,1 кг$. Жесткость пружины $k = 40 Н/м$. Определить период вертикальных колебаний системы, которые возникнут, если вывести груз из положения равновесия. Определить амплитуду колебаний и начальную фазу, если в момент $t = 0$ груз оттянуть вниз на расстояние $x_{1} = 10 см$ и сообщить ему начальную скорость $v_{1} = 3,5 м/с$, направленную вниз (вверх).
Подробнее
Материальная точка участвует одновременно в двух колебательных процессах, происходящих в одном направлении по гармоническому закону с одинаковой частотой, амплитудами $A_{1} = 5 см$ и $A_{2} = 10 см$ и сдвигом по фазе $\Delta \phi = \pi /3$. Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебательного процесса.
Подробнее
Математический маятник длины $l = 50 см$ совершает небольшие колебания в среде, в которой коэффициент затуханий $\beta = 0,9 с^{-1}$. Определить время $\tau$ и число полных колебаний $n$, по истечении которых амплитуда маятника уменьшится в пять раз. Во сколько раз должен возрасти коэффициент трения, чтобы колебания оказались невозможны? <-
Подробнее
Гармонический осциллятор в вакууме совершает колебания с циклической частотой $\omega_{0}$ и амплитудой $A_{0}$. В вязкой среде циклическая частота становится равной $\omega$. Определить закон изменения скорости движения осциллятора со временем, ее амплитудное значение и сдвиг по фазе относительно смещения $s$ в вязкой среде.
Подробнее
Шарик массы $m = 50 г$ подвешен на невесомой пружине жесткостью $k = 20 Н/м$. Под действием вынуждающей вертикальной гармонической силы с циклической частотой $\omega_{1} = 18 с^{-1}$ он совершает установившиеся вынужденные колебания с амплитудой $X_{01} = 1,3 см$. При этом смещение шарика отстает по фазе от вынуждающей силы на $\psi_{1} = \pi /4$. Найти работу вынуждающей силы за время, равное периоду колебаний. Во сколько раз найденное значение меньше той максимальной работы, которую может совершить вынуждающая сила за период?
Подробнее
По гладким горизонтальным рельсам движется платформа массы $M$ со скоростью $\vec{v}$ (рис.). На передний край платформы осторожно кладут груз массы $m$. Коэффициент трения между этим грузом и платформой $k$. При какой минимальной длине платформы груз не упадет с нее?
Подробнее
