Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3502
2017-05-21 
Шарик массы $m = 50 г$ подвешен на невесомой пружине жесткостью $k = 20 Н/м$. Под действием вынуждающей вертикальной гармонической силы с циклической частотой $\omega_{1} = 18 с^{-1}$ он совершает установившиеся вынужденные колебания с амплитудой $X_{01} = 1,3 см$. При этом смещение шарика отстает по фазе от вынуждающей силы на $\psi_{1} = \pi /4$. Найти работу вынуждающей силы за время, равное периоду колебаний. Во сколько раз найденное значение меньше той максимальной работы, которую может совершить вынуждающая сила за период?
Решение:
Шарик, который можно принять за материальную точку, совершает вынужденные гармонические колебания. Элементарная работа вынуждающей силы $\vec{F}$
$dA = \vec{F} \vec{v} dt$, (1)
где $\vec{v}$ — скорость шарика.
Введем ось X, направленную вертикально (как и вынуждающая сила). Проекция вынуждающей силы на эту ось изменяется со временем по закону
$F_{x} = F_{0} \sin \omega t$, (2)
где $F_{0}$ — амплитудное значение вынуждающей силы, $\omega$ — циклическая частота. Смещение колеблющегося тела от положения равновесия (также вдоль оси X) и скорость его в этом случае изменяются со временем по законам
$x = X_{0} \sin ( \omega t - \psi)$, (3)
$v_{x} = \dot{x} = X_{0} \omega_{0} \cos ( \omega t - \psi)$, (4)
причем амплитуда и сдвиг по фазе вынужденных колебаний
$X_{0} = \frac{F_{0}/m}{ \sqrt{ ( \omega_{0}^{2} - \omega^{2})^{2} + 4 \beta^{2} \omega^{2}}}$, (5)
$tg \psi = \frac{2 \beta \omega}{ \omega_{0}^{2} - \omega^{2}}$, (6)
где $\omega_{0} = \sqrt{k/m}$ — собственная циклическая частота осциллятора. Уравнения (5) и (6) образуют систему относительно неизвестных $\beta$ и $F_{0}$ ($\beta$ — коэффициент затухания осциллятора). Таким образом, все параметры, характеризующие законы изменения вынуждающей силы и скорости колеблющегося тела, со временем могут быть найдены. Подставив выражения (2) и (4) в (1), получим
$dA = F_{x} v_{x} dt = F_{0}X_{0} \omega \sin \omega t \cos ( \omega t \psi) dt$. (7)
Работа, совершаемая за период $T$, может быть найдена интегрированием уравнения (7) по времени. Как видно, элементарная работа знакопеременна. Очевидно, работа вынуждающей силы за период будет наибольшей тогда, когда выражение $dA$ для любого промежутка времени положительно, т. е. когда скорость колеблющейся точки и вынуждающая сила изменяются со временем без сдвига по фазе. Это значит, что для любого момента
$\cos ( \omega t - \psi) = \sin \omega t$. (8)
Уравнения (8) и (6) позволят найти значения $\psi$ и $\omega$, при которых работа вынуждающей силы максимальна.
Чтобы найти работу вынуждающей силы за период, проинтегрируем выражение (7) по времени, заменив предварительно $\cos ( \omega t - \psi)$ по тригонометрической формуле косинуса разности двух углов:
$A = F_{0}X_{0} \omega \left ( \cos \psi \int_{0}^{T} \sin \omega t \cos \omega t dt + \sin \psi \int_{0}^{T} \sin^{2} \omega t dt \right )$.
Интегрирование по переменной $t$ в пределе от 0 до $T$ соответствует интегрированию по переменной $\omega t$ в пределе от 0 до $2 \pi$, поэтому
$\int_{0}^{T} \sin \omega t \cos \omega t dt = 0, \int_{0}^{T} \sin^{2} \omega t dt = \frac{T}{2} = \frac{ \pi}{ \omega}$.
Тогда искомая работа
$A = F_{0}X_{0} \pi \sin \psi$. (9)
Из равенства (6) при $\psi = \pi /4$ и $\omega = \omega_{1}$, имеем
$2 \beta \omega_{1} = \omega_{0}^{2} - \omega_{1}^{2}$. (10)
Подставим выражение (10) в (5):
$X_{01} = F_{0}/[m( \omega_{0}^{2} - \omega_{1}^{2})/ \sqrt{2}]$,
откуда
$F_{0} = X_{01} m ( \omega_{0}^{2} - \omega{1}^{2}) \sqrt{2}$. (11)
Подставив выражение (И) и $\psi_{1} = \pi /4$ в (9), получаем
$A_{1} = X_{01}^{2} m \pi ( \omega_{0}^{2} - \omega_{1}^{2}) = 2,0 \cdot 10^{-3} Дж$.
Тождество (8) справедливо при $\psi_{0} = \pi /2$. Подставляя это значение $\psi_{0}$ в равенство (6), находим $tg \psi_{0} = \infty$, что возможно при $\omega = \omega_{0}$. При этой частоте скорость и вынуждающая сила изменяются со временем по фазе и работа вынуждающей силы за период оказывается максимальной.
Согласно выражению (9), отношение наибольшей работы, совершаемой вынуждающей силой, к найденной (учитывая, что $F_{0}$ постоянна)
$\frac{A_{max}}{A_{1}} = \frac{X_{0p} \sin \psi_{0}}{ X_{01} \sin \psi_{1}}$,
где $X_{0p}$ и $\psi_{0}$ — амплитуда вынужденных колебаний и сдвиг по фазе относительно вынуждающей силы при $\omega = \omega_{0}$. Из равенства (5) получим
$X_{0p} = F_{0} / (2m \beta \omega_{0})$.
Учитывая выражения (11) и (10), находим
$X_{0p} = X_{01} \omega_{1} \sqrt{2} / \omega_{0}$.
Тогда
$\frac{A_{max}}{A_{1}} = \frac{X_{01} \omega_{1} \sqrt{2}}{ X_{01} \omega_{0} \sin \psi_{1}}$.
Так как $\sin \psi_{1} = \sqrt{2} /2$, то
$\frac{A_{max}}{A_{1}} = \frac{2 \omega_{1}}{ \omega_{0} } = 1,8$.
Шарик массы $m = 50 г$ подвешен на невесомой пружине жесткостью $k = 20 Н/м$. Под действием вынуждающей вертикальной гармонической силы с циклической частотой $\omega_{1} = 18 с^{-1}$ он совершает установившиеся вынужденные колебания с амплитудой $X_{01} = 1,3 см$. При этом смещение шарика отстает по фазе от вынуждающей силы на $\psi_{1} = \pi /4$. Найти работу вынуждающей силы за время, равное периоду колебаний. Во сколько раз найденное значение меньше той максимальной работы, которую может совершить вынуждающая сила за период?
Решение:
Шарик, который можно принять за материальную точку, совершает вынужденные гармонические колебания. Элементарная работа вынуждающей силы $\vec{F}$
$dA = \vec{F} \vec{v} dt$, (1)
где $\vec{v}$ — скорость шарика.
Введем ось X, направленную вертикально (как и вынуждающая сила). Проекция вынуждающей силы на эту ось изменяется со временем по закону
$F_{x} = F_{0} \sin \omega t$, (2)
где $F_{0}$ — амплитудное значение вынуждающей силы, $\omega$ — циклическая частота. Смещение колеблющегося тела от положения равновесия (также вдоль оси X) и скорость его в этом случае изменяются со временем по законам
$x = X_{0} \sin ( \omega t - \psi)$, (3)
$v_{x} = \dot{x} = X_{0} \omega_{0} \cos ( \omega t - \psi)$, (4)
причем амплитуда и сдвиг по фазе вынужденных колебаний
$X_{0} = \frac{F_{0}/m}{ \sqrt{ ( \omega_{0}^{2} - \omega^{2})^{2} + 4 \beta^{2} \omega^{2}}}$, (5)
$tg \psi = \frac{2 \beta \omega}{ \omega_{0}^{2} - \omega^{2}}$, (6)
где $\omega_{0} = \sqrt{k/m}$ — собственная циклическая частота осциллятора. Уравнения (5) и (6) образуют систему относительно неизвестных $\beta$ и $F_{0}$ ($\beta$ — коэффициент затухания осциллятора). Таким образом, все параметры, характеризующие законы изменения вынуждающей силы и скорости колеблющегося тела, со временем могут быть найдены. Подставив выражения (2) и (4) в (1), получим
$dA = F_{x} v_{x} dt = F_{0}X_{0} \omega \sin \omega t \cos ( \omega t \psi) dt$. (7)
Работа, совершаемая за период $T$, может быть найдена интегрированием уравнения (7) по времени. Как видно, элементарная работа знакопеременна. Очевидно, работа вынуждающей силы за период будет наибольшей тогда, когда выражение $dA$ для любого промежутка времени положительно, т. е. когда скорость колеблющейся точки и вынуждающая сила изменяются со временем без сдвига по фазе. Это значит, что для любого момента
$\cos ( \omega t - \psi) = \sin \omega t$. (8)
Уравнения (8) и (6) позволят найти значения $\psi$ и $\omega$, при которых работа вынуждающей силы максимальна.
Чтобы найти работу вынуждающей силы за период, проинтегрируем выражение (7) по времени, заменив предварительно $\cos ( \omega t - \psi)$ по тригонометрической формуле косинуса разности двух углов:
$A = F_{0}X_{0} \omega \left ( \cos \psi \int_{0}^{T} \sin \omega t \cos \omega t dt + \sin \psi \int_{0}^{T} \sin^{2} \omega t dt \right )$.
Интегрирование по переменной $t$ в пределе от 0 до $T$ соответствует интегрированию по переменной $\omega t$ в пределе от 0 до $2 \pi$, поэтому
$\int_{0}^{T} \sin \omega t \cos \omega t dt = 0, \int_{0}^{T} \sin^{2} \omega t dt = \frac{T}{2} = \frac{ \pi}{ \omega}$.
Тогда искомая работа
$A = F_{0}X_{0} \pi \sin \psi$. (9)
Из равенства (6) при $\psi = \pi /4$ и $\omega = \omega_{1}$, имеем
$2 \beta \omega_{1} = \omega_{0}^{2} - \omega_{1}^{2}$. (10)
Подставим выражение (10) в (5):
$X_{01} = F_{0}/[m( \omega_{0}^{2} - \omega_{1}^{2})/ \sqrt{2}]$,
откуда
$F_{0} = X_{01} m ( \omega_{0}^{2} - \omega{1}^{2}) \sqrt{2}$. (11)
Подставив выражение (И) и $\psi_{1} = \pi /4$ в (9), получаем
$A_{1} = X_{01}^{2} m \pi ( \omega_{0}^{2} - \omega_{1}^{2}) = 2,0 \cdot 10^{-3} Дж$.
Тождество (8) справедливо при $\psi_{0} = \pi /2$. Подставляя это значение $\psi_{0}$ в равенство (6), находим $tg \psi_{0} = \infty$, что возможно при $\omega = \omega_{0}$. При этой частоте скорость и вынуждающая сила изменяются со временем по фазе и работа вынуждающей силы за период оказывается максимальной.
Согласно выражению (9), отношение наибольшей работы, совершаемой вынуждающей силой, к найденной (учитывая, что $F_{0}$ постоянна)
$\frac{A_{max}}{A_{1}} = \frac{X_{0p} \sin \psi_{0}}{ X_{01} \sin \psi_{1}}$,
где $X_{0p}$ и $\psi_{0}$ — амплитуда вынужденных колебаний и сдвиг по фазе относительно вынуждающей силы при $\omega = \omega_{0}$. Из равенства (5) получим
$X_{0p} = F_{0} / (2m \beta \omega_{0})$.
Учитывая выражения (11) и (10), находим
$X_{0p} = X_{01} \omega_{1} \sqrt{2} / \omega_{0}$.
Тогда
$\frac{A_{max}}{A_{1}} = \frac{X_{01} \omega_{1} \sqrt{2}}{ X_{01} \omega_{0} \sin \psi_{1}}$.
Так как $\sin \psi_{1} = \sqrt{2} /2$, то
$\frac{A_{max}}{A_{1}} = \frac{2 \omega_{1}}{ \omega_{0} } = 1,8$.
