Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3498
2017-05-21 
К вертикальной невесомой пружине, верхний конец которой закреплен, подвешен груз массы $m = 0,1 кг$. Жесткость пружины $k = 40 Н/м$. Определить период вертикальных колебаний системы, которые возникнут, если вывести груз из положения равновесия. Определить амплитуду колебаний и начальную фазу, если в момент $t = 0$ груз оттянуть вниз на расстояние $x_{1} = 10 см$ и сообщить ему начальную скорость $v_{1} = 3,5 м/с$, направленную вниз (вверх).
Решение:
Задача практически состоит из двух самостоятельных частей. Анализ ее и решение также будут содержать легко прослеживаемые две части.
Период колебаний можно определить только в случае, если груз, движущийся поступательно, совершает гармонические колебания. Это значит, что ускорение груза должно быть прямо пропорционально его смещению от положения равновесия и направлено в противоположную сторону.
В процессе движения на груз действуют две силы: тяжести и упругости пружины. Сила упругости пружины однозначно определяется растяжением или сжатием пружины, т. е. смещением ее незакрепленного конца. Если ввести ось ОХ (рис.), то координата х груза равна смещению конца пружины от прямой $AA^{ \prime}$ — уровня, на котором находился конец пружины в положении равновесия. Тогда полное растяжение пружины равно $x + s_{0}$ и сила упругости
$f_{x} = - k (x + s_{0})$, (1)
где $s_{0}$ — растяжение пружины, при котором груз находился в положении устойчивого равновесия, когда
$ks_{0} = mg$. (2)
Поскольку обе силы (тяжести и упругости) направлены вдоль оси ОХ, уравнение движения для груза можно записать сразу в скалярном виде:
$m \ddot{x} = mg - k (x + s_{0})$.
Раскрывая скобки и учитывая равенство (2), получаем
$m \ddot{x} = - kx$. (3)
Это и есть дифференциальное уравнение гармонического колебания, которое позволяет однозначно определить период колебаний.
Амплитуду колебаний $X_{0}$ можно найти, рассматривая изменение энергии при переходе из положения, в котором система находилась в момент $t = 0$, в положение, при котором $x = X_{0}$. Полная энергия системы состоит из кинетической энергии груза, потенциальной энергии груза в поле тяготения Земли (пружина невесома, поэтому речь идет только о грузе) и потенциальной энергии упругой деформации. Поскольку диссипативных сил нет и никакие внешние силы на систему груз—пружина не действуют, полная энергия системы при рассматриваемом переходе остается постоянной:
$\Delta K + \Delta U_{тяг} + \Delta U_{упр} = 0$. (4)
После определения амплитуды колебаний начальную фазу $\alpha_{0}$ можно найти, если выразить координату $x$ и скорость $v_{x}$ как функции времени и приравнять эти выражения при $t = 0$ значениям $x_{1}$ и $v_{1x}$, данным в условии задачи.
Уравнение (3) показывает, что тело заданной массы совершает гармонические колебания относительно положения равновесия с циклической частотой $\omega = \sqrt{k/m}$ и периодом $T = 2 \pi \sqrt{ m/k} = 0,31 с$.
Найдем каждое из слагаемых, входящих в уравнение (4). В начальном положении ($t = 0$), как следует из условия задачи, $x = x_{1}, v_{x} = v_{1x}$. В конечном положении $x = X_{0}, v_{x} = 0$. Следовательно, при этом переходе
$\Delta K = - mv_{1}^{2}/2, \Delta U_{тяг} = - mg (X_{0} - x_{1})$, (5)
$\Delta U_{упр} = k (X_{0} + s_{0})^{2}/2 - k(x_{1} + s_{0})^{2}/2$.
Выражение потенциальной энергии деформации объясняется тем, что растяжение пружины при любом положении тела больше, чем его координата $x$ (для $x > 0$) на $s_{0}$.
Прежде чем подставлять выражения (5) в (4), рассмотрим отдельно изменение потенциальной энергии системы:
$\Delta U_{тяг} + \Delta U_{упр} = -mg (X_{0} - x_{1}) + kX_{0}^{2} /2 - kx_{1}^{2} /2 + ks_{0} (X_{0} - x_{1})$
(члены, содержащие $s_{0}^{2}$, взаимно уничтожаются). Учитывая равенство (2), получаем
$\Delta U = \Delta U_{тяг} + \Delta U_{упр} = kX_{0}^{2}/2 - kx_{1}^{2}/2$. (6)
Можно показать, что найденное изменение потенциальной энергии равно взятой с обратным знаком работе результирующей силы при переходе тела от $x = x_{1}$, к $x = X_{0}$:
$f_{x ~ рез} = - kx, dA = - kx dx$,
$\Delta U = -A = \int_{x_{1}}^{X_{0}} kx dx = kX_{0}^{2}/2 - kx_{1}^{2}/2$.
Такой результат справедлив для любого гармонического осциллятора: изменение потенциальной энергии равно взятой с обратным знаком работе результирующей квазиупругой силы.
Подставив первое из выражений (5) и (6) в (4), получим
$- mv_{1}^{2}/2 + kX_{0}^{2}/2 - kx_{1}^{2}/2 = 0$,
откуда
$X_{0} = \sqrt{mv_{1}^{2} / k + x_{1}^{2}} = 0,2 м$.
Запишем теперь выражения для $x(t)$ и $v_{x}(t)$:
$x = X_{0} \sin ( \omega t + \alpha_{0})$,
$v_{x} = \dot{x} = X_{0} \omega \cos ( \omega t + \alpha_{0})$.
При $t = 0$
$x(0) = X_{0} \sin \alpha_{0} = x_{1}, v_{x}(0) = X_{0} \omega \cos \alpha_{0} = \pm v_{1}$. (7)
Следовательно, $\alpha_{0} = arcsin (x_{1}/X_{0}) = \pi /6$ (или $5 \pi/6$). Знак «+» в выражении (7) соответствует направлению скорости $v_{1}$ вниз. В этом случае $X_{0} \omega \cos \alpha_{0} > 0$. Следовательно, $\alpha_{0} = \pi /6$. Если скорость $v_{1}$ направлена вверх, то $v_{1x} = - v_{1}, X_{0} \omega \cos \alpha_{0} < 0$. Следовательно, $\alpha_{0} = 5 \pi/6$.
К вертикальной невесомой пружине, верхний конец которой закреплен, подвешен груз массы $m = 0,1 кг$. Жесткость пружины $k = 40 Н/м$. Определить период вертикальных колебаний системы, которые возникнут, если вывести груз из положения равновесия. Определить амплитуду колебаний и начальную фазу, если в момент $t = 0$ груз оттянуть вниз на расстояние $x_{1} = 10 см$ и сообщить ему начальную скорость $v_{1} = 3,5 м/с$, направленную вниз (вверх).
Решение:
Задача практически состоит из двух самостоятельных частей. Анализ ее и решение также будут содержать легко прослеживаемые две части.
Период колебаний можно определить только в случае, если груз, движущийся поступательно, совершает гармонические колебания. Это значит, что ускорение груза должно быть прямо пропорционально его смещению от положения равновесия и направлено в противоположную сторону.
В процессе движения на груз действуют две силы: тяжести и упругости пружины. Сила упругости пружины однозначно определяется растяжением или сжатием пружины, т. е. смещением ее незакрепленного конца. Если ввести ось ОХ (рис.), то координата х груза равна смещению конца пружины от прямой $AA^{ \prime}$ — уровня, на котором находился конец пружины в положении равновесия. Тогда полное растяжение пружины равно $x + s_{0}$ и сила упругости
$f_{x} = - k (x + s_{0})$, (1)
где $s_{0}$ — растяжение пружины, при котором груз находился в положении устойчивого равновесия, когда
$ks_{0} = mg$. (2)
Поскольку обе силы (тяжести и упругости) направлены вдоль оси ОХ, уравнение движения для груза можно записать сразу в скалярном виде:
$m \ddot{x} = mg - k (x + s_{0})$.
Раскрывая скобки и учитывая равенство (2), получаем
$m \ddot{x} = - kx$. (3)
Это и есть дифференциальное уравнение гармонического колебания, которое позволяет однозначно определить период колебаний.
Амплитуду колебаний $X_{0}$ можно найти, рассматривая изменение энергии при переходе из положения, в котором система находилась в момент $t = 0$, в положение, при котором $x = X_{0}$. Полная энергия системы состоит из кинетической энергии груза, потенциальной энергии груза в поле тяготения Земли (пружина невесома, поэтому речь идет только о грузе) и потенциальной энергии упругой деформации. Поскольку диссипативных сил нет и никакие внешние силы на систему груз—пружина не действуют, полная энергия системы при рассматриваемом переходе остается постоянной:
$\Delta K + \Delta U_{тяг} + \Delta U_{упр} = 0$. (4)
После определения амплитуды колебаний начальную фазу $\alpha_{0}$ можно найти, если выразить координату $x$ и скорость $v_{x}$ как функции времени и приравнять эти выражения при $t = 0$ значениям $x_{1}$ и $v_{1x}$, данным в условии задачи.
Уравнение (3) показывает, что тело заданной массы совершает гармонические колебания относительно положения равновесия с циклической частотой $\omega = \sqrt{k/m}$ и периодом $T = 2 \pi \sqrt{ m/k} = 0,31 с$.
Найдем каждое из слагаемых, входящих в уравнение (4). В начальном положении ($t = 0$), как следует из условия задачи, $x = x_{1}, v_{x} = v_{1x}$. В конечном положении $x = X_{0}, v_{x} = 0$. Следовательно, при этом переходе
$\Delta K = - mv_{1}^{2}/2, \Delta U_{тяг} = - mg (X_{0} - x_{1})$, (5)
$\Delta U_{упр} = k (X_{0} + s_{0})^{2}/2 - k(x_{1} + s_{0})^{2}/2$.
Выражение потенциальной энергии деформации объясняется тем, что растяжение пружины при любом положении тела больше, чем его координата $x$ (для $x > 0$) на $s_{0}$.
Прежде чем подставлять выражения (5) в (4), рассмотрим отдельно изменение потенциальной энергии системы:
$\Delta U_{тяг} + \Delta U_{упр} = -mg (X_{0} - x_{1}) + kX_{0}^{2} /2 - kx_{1}^{2} /2 + ks_{0} (X_{0} - x_{1})$
(члены, содержащие $s_{0}^{2}$, взаимно уничтожаются). Учитывая равенство (2), получаем
$\Delta U = \Delta U_{тяг} + \Delta U_{упр} = kX_{0}^{2}/2 - kx_{1}^{2}/2$. (6)
Можно показать, что найденное изменение потенциальной энергии равно взятой с обратным знаком работе результирующей силы при переходе тела от $x = x_{1}$, к $x = X_{0}$:
$f_{x ~ рез} = - kx, dA = - kx dx$,
$\Delta U = -A = \int_{x_{1}}^{X_{0}} kx dx = kX_{0}^{2}/2 - kx_{1}^{2}/2$.
Такой результат справедлив для любого гармонического осциллятора: изменение потенциальной энергии равно взятой с обратным знаком работе результирующей квазиупругой силы.
Подставив первое из выражений (5) и (6) в (4), получим
$- mv_{1}^{2}/2 + kX_{0}^{2}/2 - kx_{1}^{2}/2 = 0$,
откуда
$X_{0} = \sqrt{mv_{1}^{2} / k + x_{1}^{2}} = 0,2 м$.
Запишем теперь выражения для $x(t)$ и $v_{x}(t)$:
$x = X_{0} \sin ( \omega t + \alpha_{0})$,
$v_{x} = \dot{x} = X_{0} \omega \cos ( \omega t + \alpha_{0})$.
При $t = 0$
$x(0) = X_{0} \sin \alpha_{0} = x_{1}, v_{x}(0) = X_{0} \omega \cos \alpha_{0} = \pm v_{1}$. (7)
Следовательно, $\alpha_{0} = arcsin (x_{1}/X_{0}) = \pi /6$ (или $5 \pi/6$). Знак «+» в выражении (7) соответствует направлению скорости $v_{1}$ вниз. В этом случае $X_{0} \omega \cos \alpha_{0} > 0$. Следовательно, $\alpha_{0} = \pi /6$. Если скорость $v_{1}$ направлена вверх, то $v_{1x} = - v_{1}, X_{0} \omega \cos \alpha_{0} < 0$. Следовательно, $\alpha_{0} = 5 \pi/6$.
