Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3501
2017-05-21 
Гармонический осциллятор в вакууме совершает колебания с циклической частотой $\omega_{0}$ и амплитудой $A_{0}$. В вязкой среде циклическая частота становится равной $\omega$. Определить закон изменения скорости движения осциллятора со временем, ее амплитудное значение и сдвиг по фазе относительно смещения $s$ в вязкой среде.
Решение:
В вакууме, согласно условию, закон движения имеет вид
$s = A_{0} \cos ( \omega_{0} t + \phi_{0})$.
В вязкой среде осциллятор будет совершать затухающие колебания с циклической частотой $\omega = \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \beta^{2}}$, где $\beta$ — коэффициент затухания, зависящий от свойств среды. Если считать, что начальная амплитуда по-прежнему равна $A_{0}$, то закон движения можно записать в виде
$s = A_{0} e^{ - \beta t} \cos \omega t$ (1)
(начальную фазу считаем равной нулю).
Дифференцируя по времени уравнение (1), находим скорость движения осциллятора:
$v = ds/dt = A_{0} e^{ - \beta t} ( - \omega \sin \omega t - \beta \cos \omega t)$. (2)
Выражение, стоящее в скобках, описывает некоторый процесс, складывающийся из двух гармонических колебаний с одинаковой циклической частотой $\omega$ и амплитудами $\omega$ и $\beta$, причем величины $\omega$ и $\beta$ скалярные. Все это позволяет утверждать, что выражение в скобках может быть представлено в виде единого гармонического процесса, происходящего с той же частотой.
Амплитуда и начальная фаза этого процесса неизвестны, но могут быть найдены методом векторных диаграмм, согласно которому каждому из суммируемых колебаний ставится в соответствие «изображающий» вектор, модуль которого равен амплитуде колебаний, а угол наклона к оси ОХ — начальной фазе колебаний. (Очевидно, вдоль оси ОХ направлен вектор, соответствующий колебательному процессу с начальной фазой, равной нулю.)
Первому колебательному процессу $[ - \omega \sin \omega t = \omega \cos ( \omega t + \pi /2)]$ в выражении (2) соответствует вектор $\vec{a}_{1}$, второму $[- \beta \cos \omega t = \beta \cos ( \omega t + \pi)]$ — вектор $\vec{a}_{2}$. «Изображающие» векторы показаны на диаграмме рис..
Вектор $\vec{a}_{1}$ направлен перпендикулярно оси ОХ ($\phi_{01} = \pi /2$). Модуль вектора $| a_{1} | = \omega$. Вектор $\vec{a}_{2}$ направлен в сторону, противоположную оси ОХ ($\phi_{02} = \pi$). Модуль вектора $| \vec{a}_{2} | = \beta$. Вектор $\vec{a} = \vec{a}_{1} + \vec{a}_{2}$ является «изображающим» вектором результирующего колебательного процесса $( - \omega \sin \omega t - \beta \cos \omega t)$. Как видно из рисунка, его модуль
$| \vec{a} | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}} = \sqrt{ \omega^{2} + \beta^{2}} = \omega_{0}$,
угол наклона к оси ОХ
$\Phi_{0} = \pi /2 + \psi$,
где $\psi = arctg ( \beta/ \omega)$. Таким образом,
$- \omega \sin \omega t - \beta \cos \omega t \equiv \omega_{0} \cos [ \omega t + ( \pi /2 + \psi)]$.
Следовательно, искомая скорость [см. (2)]
$v = A_{0} \omega_{0} e^{ - \beta t} \cos [ \omega t + ( \pi/2 + \psi )]$.
Как видно из полученного выражения, скорость движения осциллятора в вязкой среде, как и смещение, изменяется со временем по закону затухающих колебаний с той же циклической частотой $\omega$. Начальная амплитуда скорости
$v_{0} = A_{0} \omega_{0}$.
Сдвиг по фазе скорости относительно смещения
$\Delta \phi = \pi /2 + arctg ( \beta/ \omega)$.
Следует обратить внимание на то, что при гармонических колебаниях ($\beta = 0$) амплитудное значение скорости $v_{0} = A_{0} \omega_{0}$, сдвиг по фазе скорости относительно смещения $\Delta \phi = \pm \pi /2$.
Гармонический осциллятор в вакууме совершает колебания с циклической частотой $\omega_{0}$ и амплитудой $A_{0}$. В вязкой среде циклическая частота становится равной $\omega$. Определить закон изменения скорости движения осциллятора со временем, ее амплитудное значение и сдвиг по фазе относительно смещения $s$ в вязкой среде.
Решение:
В вакууме, согласно условию, закон движения имеет вид
$s = A_{0} \cos ( \omega_{0} t + \phi_{0})$.
В вязкой среде осциллятор будет совершать затухающие колебания с циклической частотой $\omega = \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \beta^{2}}$, где $\beta$ — коэффициент затухания, зависящий от свойств среды. Если считать, что начальная амплитуда по-прежнему равна $A_{0}$, то закон движения можно записать в виде
$s = A_{0} e^{ - \beta t} \cos \omega t$ (1)
(начальную фазу считаем равной нулю).
Дифференцируя по времени уравнение (1), находим скорость движения осциллятора:
$v = ds/dt = A_{0} e^{ - \beta t} ( - \omega \sin \omega t - \beta \cos \omega t)$. (2)
Выражение, стоящее в скобках, описывает некоторый процесс, складывающийся из двух гармонических колебаний с одинаковой циклической частотой $\omega$ и амплитудами $\omega$ и $\beta$, причем величины $\omega$ и $\beta$ скалярные. Все это позволяет утверждать, что выражение в скобках может быть представлено в виде единого гармонического процесса, происходящего с той же частотой.
Амплитуда и начальная фаза этого процесса неизвестны, но могут быть найдены методом векторных диаграмм, согласно которому каждому из суммируемых колебаний ставится в соответствие «изображающий» вектор, модуль которого равен амплитуде колебаний, а угол наклона к оси ОХ — начальной фазе колебаний. (Очевидно, вдоль оси ОХ направлен вектор, соответствующий колебательному процессу с начальной фазой, равной нулю.)
Первому колебательному процессу $[ - \omega \sin \omega t = \omega \cos ( \omega t + \pi /2)]$ в выражении (2) соответствует вектор $\vec{a}_{1}$, второму $[- \beta \cos \omega t = \beta \cos ( \omega t + \pi)]$ — вектор $\vec{a}_{2}$. «Изображающие» векторы показаны на диаграмме рис..
Вектор $\vec{a}_{1}$ направлен перпендикулярно оси ОХ ($\phi_{01} = \pi /2$). Модуль вектора $| a_{1} | = \omega$. Вектор $\vec{a}_{2}$ направлен в сторону, противоположную оси ОХ ($\phi_{02} = \pi$). Модуль вектора $| \vec{a}_{2} | = \beta$. Вектор $\vec{a} = \vec{a}_{1} + \vec{a}_{2}$ является «изображающим» вектором результирующего колебательного процесса $( - \omega \sin \omega t - \beta \cos \omega t)$. Как видно из рисунка, его модуль
$| \vec{a} | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}} = \sqrt{ \omega^{2} + \beta^{2}} = \omega_{0}$,
угол наклона к оси ОХ
$\Phi_{0} = \pi /2 + \psi$,
где $\psi = arctg ( \beta/ \omega)$. Таким образом,
$- \omega \sin \omega t - \beta \cos \omega t \equiv \omega_{0} \cos [ \omega t + ( \pi /2 + \psi)]$.
Следовательно, искомая скорость [см. (2)]
$v = A_{0} \omega_{0} e^{ - \beta t} \cos [ \omega t + ( \pi/2 + \psi )]$.
Как видно из полученного выражения, скорость движения осциллятора в вязкой среде, как и смещение, изменяется со временем по закону затухающих колебаний с той же циклической частотой $\omega$. Начальная амплитуда скорости
$v_{0} = A_{0} \omega_{0}$.
Сдвиг по фазе скорости относительно смещения
$\Delta \phi = \pi /2 + arctg ( \beta/ \omega)$.
Следует обратить внимание на то, что при гармонических колебаниях ($\beta = 0$) амплитудное значение скорости $v_{0} = A_{0} \omega_{0}$, сдвиг по фазе скорости относительно смещения $\Delta \phi = \pm \pi /2$.
