Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3490
2017-05-21 
На полый тонкостенный цилиндр массы $m$ намотана нить (тонкая и невесомая) (рис.). Свободный конец ее прикреплен к потолку лифта, движущегося вниз с ускорением $\vec{a}_{л}$. Цилиндр предоставлен сам себе. Найти ускорение цилиндра относительно лифта и силу натяжения нити. Во время движения нить считать вертикальной.
Решение:
В процессе движения цилиндр взаимодействует с Землей и с нитью. Благодаря этим взаимодействиям на цилиндр действуют сила тяжести $m \vec{g}$, приложенная к центру масс и направленная вниз, и сила натяжения $\vec{T}$ нити, направленная вдоль нити вверх. Сила эта создает вращающий момент относительно воображаемой оси, проходящей через центр масс и расположенной перпендикулярно плоскости рисунка. (Последнее утверждение справедливо в предположении, что силы $\vec{T}$ и $m \vec{g}$ находятся в одной вертикальной плоскости, перпендикулярной оси цилиндра.) Следовательно, цилиндр совершает сложное плоское движение — вращение вокруг указанной оси и поступательное движение. Поступательное движение цилиндра связано как с разматыванием нити, так и с движением лифта. Поскольку лифт движется ускоренно, система отсчета, связанная с лифтом, будет неинерциальной. В системе отсчета, связанной с Землей, уравнения движения цилиндра:
$m \vec{a}_{0} = m \vec{g} + \vec{T}, J \vec{ \epsilon} = \vec{M}$, (1)
где $\vec{M}$ — момент силы натяжения нити относительно горизонтальной оси, проходящей через центр цилиндра; $\vec{a}_{0}$ — ускорение центра масс цилиндра относительно Земли. Очевидно,
$\vec{a}_{0} = \vec{a}_{л} + \vec{a}^{ \prime}$, (2)
где $\vec{a}^{ \prime}$ — искомое ускорение центра масс цилиндра относительно лифта.
Чтобы найти связь между $a_{0}$ и $\epsilon$ или $a^{ \prime}$ и $\epsilon$, рассмотрим произвольную точку на ободе цилиндра. Скорость ее относительно лифта
$\vec{v}_{l}^{ \prime} = \vec{v}_{0}^{ \prime} + \vec{u}_{l}$,
где $\vec{v}_{0}^{ \prime}$ — скорость центра масс цилиндра относительно лифта, т. е. скорость поступательного движения; $\vec{u}_{l}$ — линейная скорость, обусловленная вращением, причем $u_{l} = \omega r$, где $\omega$ — угловая скорость, $r$ — радиус цилиндра. В точке А, принадлежащей одновременно и цилиндру, и вертикальной части нити, неподвижной относительно лифта, $v_{A}^{ \prime} = v_{0}^{ \prime} - u_{A} = 0$. Следовательно, $v_{0}^{ \prime} = \omega r$, откуда после дифференцирования по времени получим
$a^{ \prime} = \epsilon r$. (3)
Для перехода к скалярным соотношениям введем оси Y и Z. В проекциях на эти оси
$a_{y} = a_{0} = a_{л} + a^{ \prime}, \epsilon_{z} = \epsilon, M_{z} = Tr$.
Для полого цилиндра $J = mr^{2}$. Тогда векторные уравнения (1) можно записать в скалярном виде:
$m(a_{л} + a^{ \prime}) = mg - T, mr^{2} \epsilon = Tr$.
Решив эту систему с учетом соотношения (3), получим
$a^{ \prime} = (g - a_{л})/2, T = [m(g - a_{л})]/2$.
Исследуя полученные выражения, легко видеть следующее:
1) если лифт свободно падает, т. е. $a_{л} = g$, то сила натяжения нити и относительное ускорение будут равны нулю; равенство $a^{ \prime} = 0$ означает, что цилиндр будет двигаться только вместе с нитью (нет вращательного движения);
2) если ускорение лифта направлено вверх, т. е. $a_{лy} < 0$, то сила натяжения и относительное ускорение будут возрастать с возрастанием переносного ускорения. Значит, будет увеличиваться и угловое ускорение вращательного движения цилиндра. Абсолютное ускорение $a_{0}$ центра масс цилиндра при этом уменьшается.
На полый тонкостенный цилиндр массы $m$ намотана нить (тонкая и невесомая) (рис.). Свободный конец ее прикреплен к потолку лифта, движущегося вниз с ускорением $\vec{a}_{л}$. Цилиндр предоставлен сам себе. Найти ускорение цилиндра относительно лифта и силу натяжения нити. Во время движения нить считать вертикальной.
Решение:
В процессе движения цилиндр взаимодействует с Землей и с нитью. Благодаря этим взаимодействиям на цилиндр действуют сила тяжести $m \vec{g}$, приложенная к центру масс и направленная вниз, и сила натяжения $\vec{T}$ нити, направленная вдоль нити вверх. Сила эта создает вращающий момент относительно воображаемой оси, проходящей через центр масс и расположенной перпендикулярно плоскости рисунка. (Последнее утверждение справедливо в предположении, что силы $\vec{T}$ и $m \vec{g}$ находятся в одной вертикальной плоскости, перпендикулярной оси цилиндра.) Следовательно, цилиндр совершает сложное плоское движение — вращение вокруг указанной оси и поступательное движение. Поступательное движение цилиндра связано как с разматыванием нити, так и с движением лифта. Поскольку лифт движется ускоренно, система отсчета, связанная с лифтом, будет неинерциальной. В системе отсчета, связанной с Землей, уравнения движения цилиндра:
$m \vec{a}_{0} = m \vec{g} + \vec{T}, J \vec{ \epsilon} = \vec{M}$, (1)
где $\vec{M}$ — момент силы натяжения нити относительно горизонтальной оси, проходящей через центр цилиндра; $\vec{a}_{0}$ — ускорение центра масс цилиндра относительно Земли. Очевидно,
$\vec{a}_{0} = \vec{a}_{л} + \vec{a}^{ \prime}$, (2)
где $\vec{a}^{ \prime}$ — искомое ускорение центра масс цилиндра относительно лифта.
Чтобы найти связь между $a_{0}$ и $\epsilon$ или $a^{ \prime}$ и $\epsilon$, рассмотрим произвольную точку на ободе цилиндра. Скорость ее относительно лифта
$\vec{v}_{l}^{ \prime} = \vec{v}_{0}^{ \prime} + \vec{u}_{l}$,
где $\vec{v}_{0}^{ \prime}$ — скорость центра масс цилиндра относительно лифта, т. е. скорость поступательного движения; $\vec{u}_{l}$ — линейная скорость, обусловленная вращением, причем $u_{l} = \omega r$, где $\omega$ — угловая скорость, $r$ — радиус цилиндра. В точке А, принадлежащей одновременно и цилиндру, и вертикальной части нити, неподвижной относительно лифта, $v_{A}^{ \prime} = v_{0}^{ \prime} - u_{A} = 0$. Следовательно, $v_{0}^{ \prime} = \omega r$, откуда после дифференцирования по времени получим
$a^{ \prime} = \epsilon r$. (3)
Для перехода к скалярным соотношениям введем оси Y и Z. В проекциях на эти оси
$a_{y} = a_{0} = a_{л} + a^{ \prime}, \epsilon_{z} = \epsilon, M_{z} = Tr$.
Для полого цилиндра $J = mr^{2}$. Тогда векторные уравнения (1) можно записать в скалярном виде:
$m(a_{л} + a^{ \prime}) = mg - T, mr^{2} \epsilon = Tr$.
Решив эту систему с учетом соотношения (3), получим
$a^{ \prime} = (g - a_{л})/2, T = [m(g - a_{л})]/2$.
Исследуя полученные выражения, легко видеть следующее:
1) если лифт свободно падает, т. е. $a_{л} = g$, то сила натяжения нити и относительное ускорение будут равны нулю; равенство $a^{ \prime} = 0$ означает, что цилиндр будет двигаться только вместе с нитью (нет вращательного движения);
2) если ускорение лифта направлено вверх, т. е. $a_{лy} < 0$, то сила натяжения и относительное ускорение будут возрастать с возрастанием переносного ускорения. Значит, будет увеличиваться и угловое ускорение вращательного движения цилиндра. Абсолютное ускорение $a_{0}$ центра масс цилиндра при этом уменьшается.
