Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3500
2017-05-21 
Математический маятник длины $l = 50 см$ совершает небольшие колебания в среде, в которой коэффициент затуханий $\beta = 0,9 с^{-1}$. Определить время $\tau$ и число полных колебаний $n$, по истечении которых амплитуда маятника уменьшится в пять раз. Во сколько раз должен возрасти коэффициент трения, чтобы колебания оказались невозможны? <-
Решение:
При отсутствии трения малые колебания маятника в вертикальной плоскости происходят по гармоническому закону, причем собственная циклическая частота математического маятника, как известно, зависит только от длины подвеса:
$\omega_{0} = \sqrt{g/l}$. (1)
Вследствие трения колебания маятника будут затухающими:
$\phi = \phi e^{ - \beta t} \sin \omega t$,
где $\phi$ — угол отклонения нити маятника от вертикали в момент $t$. (Очевидно, записанный закон движения соответствует такому началу отсчета времени, что при $t = 0$ маятник проходит через положение равновесия, т. е. $\phi = 0$.)
Период затухающих колебаний (период гармонического сомножителя)
$T = 2 \pi/ \omega = 2 \pi / \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \beta^{2}}$. (2)
Амплитудой затухающих колебаний принято считать выражение, стоящее перед гармоническим сомножителем. В соответствии с этим определением амплитуда А затухающих колебаний изменяется со временем по экспоненциальному закону:
$A(t) = \phi_{0} e^{ - \beta t}$. (3)
Записав выражения амплитуды для двух моментов $t$ и $t + \tau$ и учитывая, что отношение этих амплитуд задано, можно найти искомое время $\tau$. Число $n$ полных колебаний за это время можно определить, если известен период $T$.
Затухающие колебания по записанному выше закону возникают, как следует из решения соответствующего дифференциального уравнения, только при условии $\beta < \omega_{0}$ [это очевидно из выражения (2): при $\beta > \omega_{0}$ период и циклическая частота оказываются мнимыми величинами]. При $\beta \geq \omega_{0}$ происходит апериодический процесс, закон движения которого
$\phi = B_{1} e^{ - \delta_{1}t} + B_{2} e^{ - \delta_{2}t}$,
где $B_{1}$ и $B_{2}$ — постоянные, определяемые из начальных условий; $\delta_{1,2} = \beta \pm \sqrt{ \beta^{2} - \omega_{0}^{2}}$.
Запишем выражения (3) для моментов времени $t$ и $t + \tau$:
$A_{1} = \phi_{0} e^{ - \beta t}, A_{2} = \phi_{0} e^{ - \beta ( t + \tau)}$.
Отношение амплитуд; $A_{1}/A_{2} = e^{ \beta \tau} = 5$. Логарифмируя это выражение, находим
$\tau = ln 5/ \beta = 1,79 с$.
Число полных колебаний, прошедших за время $\tau$, очевидно, равно отношению $n = \tau /T$. Определив из выражения (1) собственную циклическую частоту математического маятника и подставив ее в выражение (2), получим $T = 1,45 с$. Из сравнения $T$ и $\tau$ видно, что $1 < n < 2$, т. е. по прошествии двух полных колебаний амплитуда уменьшится уже больше чем в 5 раз, что соответствует уменьшению энергии маятника больше чем в 25 раз.
Предельное значение коэффициента затухания $\beta$ при котором возможны колебания, $\beta_{max} = \omega_{0}$, причем $\beta = r/(2m)$, где $m$ — масса маятника, постоянная по условию задачи; $r$ — коэффициент трения. Следовательно, искомое увеличение
$z = r_{max}/r = \beta_{max}/ \beta$.
Так как $\beta_{max} = \omega_{0}$, то
$z = \omega_{0} / \beta = 4,9$.
Математический маятник длины $l = 50 см$ совершает небольшие колебания в среде, в которой коэффициент затуханий $\beta = 0,9 с^{-1}$. Определить время $\tau$ и число полных колебаний $n$, по истечении которых амплитуда маятника уменьшится в пять раз. Во сколько раз должен возрасти коэффициент трения, чтобы колебания оказались невозможны? <-
Решение:
При отсутствии трения малые колебания маятника в вертикальной плоскости происходят по гармоническому закону, причем собственная циклическая частота математического маятника, как известно, зависит только от длины подвеса:
$\omega_{0} = \sqrt{g/l}$. (1)
Вследствие трения колебания маятника будут затухающими:
$\phi = \phi e^{ - \beta t} \sin \omega t$,
где $\phi$ — угол отклонения нити маятника от вертикали в момент $t$. (Очевидно, записанный закон движения соответствует такому началу отсчета времени, что при $t = 0$ маятник проходит через положение равновесия, т. е. $\phi = 0$.)
Период затухающих колебаний (период гармонического сомножителя)
$T = 2 \pi/ \omega = 2 \pi / \sqrt{ \omega_{0}^{2} - \beta^{2}}$. (2)
Амплитудой затухающих колебаний принято считать выражение, стоящее перед гармоническим сомножителем. В соответствии с этим определением амплитуда А затухающих колебаний изменяется со временем по экспоненциальному закону:
$A(t) = \phi_{0} e^{ - \beta t}$. (3)
Записав выражения амплитуды для двух моментов $t$ и $t + \tau$ и учитывая, что отношение этих амплитуд задано, можно найти искомое время $\tau$. Число $n$ полных колебаний за это время можно определить, если известен период $T$.
Затухающие колебания по записанному выше закону возникают, как следует из решения соответствующего дифференциального уравнения, только при условии $\beta < \omega_{0}$ [это очевидно из выражения (2): при $\beta > \omega_{0}$ период и циклическая частота оказываются мнимыми величинами]. При $\beta \geq \omega_{0}$ происходит апериодический процесс, закон движения которого
$\phi = B_{1} e^{ - \delta_{1}t} + B_{2} e^{ - \delta_{2}t}$,
где $B_{1}$ и $B_{2}$ — постоянные, определяемые из начальных условий; $\delta_{1,2} = \beta \pm \sqrt{ \beta^{2} - \omega_{0}^{2}}$.
Запишем выражения (3) для моментов времени $t$ и $t + \tau$:
$A_{1} = \phi_{0} e^{ - \beta t}, A_{2} = \phi_{0} e^{ - \beta ( t + \tau)}$.
Отношение амплитуд; $A_{1}/A_{2} = e^{ \beta \tau} = 5$. Логарифмируя это выражение, находим
$\tau = ln 5/ \beta = 1,79 с$.
Число полных колебаний, прошедших за время $\tau$, очевидно, равно отношению $n = \tau /T$. Определив из выражения (1) собственную циклическую частоту математического маятника и подставив ее в выражение (2), получим $T = 1,45 с$. Из сравнения $T$ и $\tau$ видно, что $1 < n < 2$, т. е. по прошествии двух полных колебаний амплитуда уменьшится уже больше чем в 5 раз, что соответствует уменьшению энергии маятника больше чем в 25 раз.
Предельное значение коэффициента затухания $\beta$ при котором возможны колебания, $\beta_{max} = \omega_{0}$, причем $\beta = r/(2m)$, где $m$ — масса маятника, постоянная по условию задачи; $r$ — коэффициент трения. Следовательно, искомое увеличение
$z = r_{max}/r = \beta_{max}/ \beta$.
Так как $\beta_{max} = \omega_{0}$, то
$z = \omega_{0} / \beta = 4,9$.
