Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3493
2017-05-21 
На гладкой горизонтальной плоскости лежит тонкий однородный стержень длины $l = 1 м$ и массы $m_{1}$. По плоскости перпендикулярно стержню со скоростью $v = 20 м/с$ скользит шарик массы $m = m_{1}/3$ (рис.). Как и с какой скоростью будет двигаться после удара стержень, если шарик после удара останавливается? Рассмотреть два случая: 1) шарик ударяется в середину стержня; 2) точка удара отстоит от середины на расстоянии $x_{0} = l/4$. Найти долю энергии, которая израсходовалась на работу против сил неупругой деформации.
Решение:
Стержень начинает двигаться в результате удара шарика, причем, согласно условию, возникающая при ударе сила направлена нормально к стержню. Если шарик ударяет в середину стержня, то линия действия этой силы проходит через центр масс стержня. При этом следует предположить, что толщина стержня (в вертикальном направлении) равна диаметру шарика. В этом случае стержень совершает только поступательное движение с некоторой скоростью $\vec{u}$.
Во втором случае возникающая при ударе сила создает вращающий момент относительно центра масс. Тогда стержень помимо поступательного движения будет совершать вращение вокруг воображаемой вертикальной оси, проходящей через его центр масс. В этом случае движение стержня характеризуется как скоростью $u_{0}$ центра масс, равной скорости поступательного движения, так и угловой скоростью $\omega$.
Как всегда при ударе, целесообразно рассматривать систему соударяющихся тел, в данном случае систему шарик — стержень. Внешними силами являются силы тяжести и нормальной реакции плоскости, действующие на каждое из тел и компенсирующие друг друга. Следовательно, импульс и момент импульса этой системы тел не изменяются в результате удара:
$\vec{p}_{Ic} = \vec{p}_{IIc}; \vec{L}_{Ic} = \vec{L}_{IIc}$.
По условию, шарик в результате удара останавливается, удар не является упругим, закон сохранения энергии неприменим, и кинетическая энергия системы уменьшается.
В первом случае, когда стержень совершает только поступательное движение, для описания его, т. е. для нахождения скорости $u$, достаточно одного закона сохранения импульса:
$m \vec{v} = m_{1} \vec{u}$. (1)
Во втором случае, очевидно, следует использовать оба закона сохранения:
$m \vec{v} = m_{1} \vec{u}_{0}^{1}$, (2)
$\vec{r} \times m \vec{v} = J_{0} \omega$, (3)
где $\vec{r}$ — радиус-вектор шарика, принимаемого за материальную точку; $J_{0} = ml^{2}/12$ — момент инерции стержня относительно центра масс.
Уравнения (1) — (3) позволят определить кинематические параметры стержня после удара. Зная их, можно найти и изменение кинетической энергии системы.
Сравнение уравнений (1) и (2) показывает, что $\vec{u} = \vec{u}_{0}$, т. е. скорость поступательного движения стержня не зависит от точки удара. Переписав одно из этих уравнений в скалярном виде, получим:
$mv = m_{1} u_{0}, u_{0} = mv/m_{1} = 6,7 м/с$.
Как видно из рисунка, $\hat{ \vec{r}, \vec{v}} = \pi - \alpha, r \sin \alpha = l/4$. Тогда уравнение (3) в скалярном виде (с учетом выражения момента инерции стержня) примет вид
$mvl/4 = m_{1}l^{2} \omega/12$,
откуда
$\omega = 3mv/(m_{1}l) = 20 с^{-1}$.
Кинетическая энергия системы до удара
$K_{1} = mv^{2}/2$.
После удара кинетическая энергия системы в первом случае
$K_{II} = m_{1} u^{2}/2 = mv^{2}m/(2m_{1})$
и доля энергии, израсходованная на работу против сил неупругой деформации,
$\eta_{1} = \frac{|K_{II} - K_{I}|}{K_{I}} = 1 - \frac{m}{m_{1}} = \frac{2}{3}$.
Кинетическая энергия системы после удара во втором случае
$K_{II}^{ \prime} = \frac{m_{1}u_{0}^{2}}{2} + \frac{J_{0} \omega^{2}}{2} = \frac{mv^{2}}{2} \frac{m}{m_{1}} + \frac{mv^{2}}{2} \frac{3}{4} \frac{m}{m_{1}}$.
Окончательно $K_{II}^{ \prime} = 7 m v^{2} m /(8m_{1})$, тогда
$\eta_{2} = \frac{| K_{II}^{ \prime} - K_{I}|}{K_{I}} = 1 - \frac{7m}{4m_{1}} = \frac{5}{12}$.
На гладкой горизонтальной плоскости лежит тонкий однородный стержень длины $l = 1 м$ и массы $m_{1}$. По плоскости перпендикулярно стержню со скоростью $v = 20 м/с$ скользит шарик массы $m = m_{1}/3$ (рис.). Как и с какой скоростью будет двигаться после удара стержень, если шарик после удара останавливается? Рассмотреть два случая: 1) шарик ударяется в середину стержня; 2) точка удара отстоит от середины на расстоянии $x_{0} = l/4$. Найти долю энергии, которая израсходовалась на работу против сил неупругой деформации.
Решение:
Стержень начинает двигаться в результате удара шарика, причем, согласно условию, возникающая при ударе сила направлена нормально к стержню. Если шарик ударяет в середину стержня, то линия действия этой силы проходит через центр масс стержня. При этом следует предположить, что толщина стержня (в вертикальном направлении) равна диаметру шарика. В этом случае стержень совершает только поступательное движение с некоторой скоростью $\vec{u}$.
Во втором случае возникающая при ударе сила создает вращающий момент относительно центра масс. Тогда стержень помимо поступательного движения будет совершать вращение вокруг воображаемой вертикальной оси, проходящей через его центр масс. В этом случае движение стержня характеризуется как скоростью $u_{0}$ центра масс, равной скорости поступательного движения, так и угловой скоростью $\omega$.
Как всегда при ударе, целесообразно рассматривать систему соударяющихся тел, в данном случае систему шарик — стержень. Внешними силами являются силы тяжести и нормальной реакции плоскости, действующие на каждое из тел и компенсирующие друг друга. Следовательно, импульс и момент импульса этой системы тел не изменяются в результате удара:
$\vec{p}_{Ic} = \vec{p}_{IIc}; \vec{L}_{Ic} = \vec{L}_{IIc}$.
По условию, шарик в результате удара останавливается, удар не является упругим, закон сохранения энергии неприменим, и кинетическая энергия системы уменьшается.
В первом случае, когда стержень совершает только поступательное движение, для описания его, т. е. для нахождения скорости $u$, достаточно одного закона сохранения импульса:
$m \vec{v} = m_{1} \vec{u}$. (1)
Во втором случае, очевидно, следует использовать оба закона сохранения:
$m \vec{v} = m_{1} \vec{u}_{0}^{1}$, (2)
$\vec{r} \times m \vec{v} = J_{0} \omega$, (3)
где $\vec{r}$ — радиус-вектор шарика, принимаемого за материальную точку; $J_{0} = ml^{2}/12$ — момент инерции стержня относительно центра масс.
Уравнения (1) — (3) позволят определить кинематические параметры стержня после удара. Зная их, можно найти и изменение кинетической энергии системы.
Сравнение уравнений (1) и (2) показывает, что $\vec{u} = \vec{u}_{0}$, т. е. скорость поступательного движения стержня не зависит от точки удара. Переписав одно из этих уравнений в скалярном виде, получим:
$mv = m_{1} u_{0}, u_{0} = mv/m_{1} = 6,7 м/с$.
Как видно из рисунка, $\hat{ \vec{r}, \vec{v}} = \pi - \alpha, r \sin \alpha = l/4$. Тогда уравнение (3) в скалярном виде (с учетом выражения момента инерции стержня) примет вид
$mvl/4 = m_{1}l^{2} \omega/12$,
откуда
$\omega = 3mv/(m_{1}l) = 20 с^{-1}$.
Кинетическая энергия системы до удара
$K_{1} = mv^{2}/2$.
После удара кинетическая энергия системы в первом случае
$K_{II} = m_{1} u^{2}/2 = mv^{2}m/(2m_{1})$
и доля энергии, израсходованная на работу против сил неупругой деформации,
$\eta_{1} = \frac{|K_{II} - K_{I}|}{K_{I}} = 1 - \frac{m}{m_{1}} = \frac{2}{3}$.
Кинетическая энергия системы после удара во втором случае
$K_{II}^{ \prime} = \frac{m_{1}u_{0}^{2}}{2} + \frac{J_{0} \omega^{2}}{2} = \frac{mv^{2}}{2} \frac{m}{m_{1}} + \frac{mv^{2}}{2} \frac{3}{4} \frac{m}{m_{1}}$.
Окончательно $K_{II}^{ \prime} = 7 m v^{2} m /(8m_{1})$, тогда
$\eta_{2} = \frac{| K_{II}^{ \prime} - K_{I}|}{K_{I}} = 1 - \frac{7m}{4m_{1}} = \frac{5}{12}$.
