Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3495
2017-05-21 
Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси X. По прошествии времени $t_{1} = 0,1 с$ от начала движения смещение точки от положения равновесия $x_{1} = 5 см$, скорость $v_{1x} = 62 см/с$, ускорение $a_{1x} = - 540 см/с^{2}$. Определить: 1) амплитуду, циклическую частоту и начальную фазу колебаний; 2) смещение, скорость и ускорение в начальный момент ($t = 0$).
Решение:
Закон движения материальной точки в общем виде известен:
$x = X_{0} \sin ( \omega t + \alpha_{0})$. (1)
Законы изменения скорости и ускорения со временем могут быть найдены последовательным дифференцированием по времени уравнения (1):
$\dot{x} = v_{x} = X_{0} \omega \cos ( \omega t + \alpha_{0})$, (2)
$\ddot{x} = a_{x} = - X_{0} \omega^{2} \sin ( \omega t + \alpha_{0})$. (3)
Подставляя в уравнения (1) — (3) заданные значения времени, координаты, скорости и ускорения, получаем три уравнения, содержащие в качестве неизвестных $X_{0}, \omega$ и $\alpha_{0}$. Совместное решение такой системы позволит найти все искомые величины. После того как будут найдены эти величины, подстановка в те же уравнения времени $t = 0$ позволит найти начальные смещение, скорость и ускорение.
Подставив в уравнения (1)—(3) значения $t_{1}, x_{1}, v_{1x}$ и $a_{1x}$, получим:
$x_{1} = X_{0} \sin ( \omega t_{1} + \alpha_{0})$,
$v_{1x} = X_{0} \omega \cos ( \omega t_{1} + \alpha_{0})$, (4)
$a_{1x} = - X_{0} \omega^{2} \sin ( \omega t_{1} + \alpha_{0})$.
Рассмотрим сначала первое и третье из уравнений (4). Легко видеть, что $a_{1x} = - x_{1} \omega^{2}$, откуда
$|omega = \sqrt{ - a_{1x} / x_{1}} = 10,4 с^{-1}$.
Возведя в квадрат первые два уравнения системы (4) (предварительно следует второе из уравнений разделить на $\omega$) и почленно сложив их, получаем $x_{1}^{2} + v_{1x}^{2} / \omega^{2} = X_{0}^{2}$. Откуда амплитуда колебаний
$X_{0} = \sqrt{ x_{1}^{2} + v_{1x}^{2} / \omega^{2}} = 7,8 см$.
Чтобы найти начальную фазу, подставим найденные значения $X_{0}$ и $\omega$, например, в первое из уравнений (4). Так как начальную фазу принято выражать в долях $\pi$, то запишем уравнение (1), введя период колебаний $T = 2 \pi/ \omega = 0,6 с$. Тогда $\omega t_{1} = 2 \pi t_{1} / T = 2 \pi /6$ и
$x_{1} = X_{0} \sin ( 2 \pi /6 + \alpha_{0})$,
$2 \pi/6 + \alpha_{0} = arcsin (x_{1}/X_{0}) = arcsin 0,64$,
откуда
$2 \pi/6 + \alpha_{0} = 40^{ \circ} = 2 \pi/9, \alpha = - \pi /9$.
По найденным значениям $X_{0}$ и $\alpha_{0}$ определим $v_{x}(0), u_{x} (0)$ и $a_{x} (0)$ — координату, скорость и ускорение точки в начальный момент времени. Для этого подставим в уравнения (1) — (3) значение $t = 0$:
$x(0) = - 2,7 см; v_{x}(0) = 76 см/с; a_{x}(0) = 289 см/с^{2}$.
Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси X. По прошествии времени $t_{1} = 0,1 с$ от начала движения смещение точки от положения равновесия $x_{1} = 5 см$, скорость $v_{1x} = 62 см/с$, ускорение $a_{1x} = - 540 см/с^{2}$. Определить: 1) амплитуду, циклическую частоту и начальную фазу колебаний; 2) смещение, скорость и ускорение в начальный момент ($t = 0$).
Решение:
Закон движения материальной точки в общем виде известен:
$x = X_{0} \sin ( \omega t + \alpha_{0})$. (1)
Законы изменения скорости и ускорения со временем могут быть найдены последовательным дифференцированием по времени уравнения (1):
$\dot{x} = v_{x} = X_{0} \omega \cos ( \omega t + \alpha_{0})$, (2)
$\ddot{x} = a_{x} = - X_{0} \omega^{2} \sin ( \omega t + \alpha_{0})$. (3)
Подставляя в уравнения (1) — (3) заданные значения времени, координаты, скорости и ускорения, получаем три уравнения, содержащие в качестве неизвестных $X_{0}, \omega$ и $\alpha_{0}$. Совместное решение такой системы позволит найти все искомые величины. После того как будут найдены эти величины, подстановка в те же уравнения времени $t = 0$ позволит найти начальные смещение, скорость и ускорение.
Подставив в уравнения (1)—(3) значения $t_{1}, x_{1}, v_{1x}$ и $a_{1x}$, получим:
$x_{1} = X_{0} \sin ( \omega t_{1} + \alpha_{0})$,
$v_{1x} = X_{0} \omega \cos ( \omega t_{1} + \alpha_{0})$, (4)
$a_{1x} = - X_{0} \omega^{2} \sin ( \omega t_{1} + \alpha_{0})$.
Рассмотрим сначала первое и третье из уравнений (4). Легко видеть, что $a_{1x} = - x_{1} \omega^{2}$, откуда
$|omega = \sqrt{ - a_{1x} / x_{1}} = 10,4 с^{-1}$.
Возведя в квадрат первые два уравнения системы (4) (предварительно следует второе из уравнений разделить на $\omega$) и почленно сложив их, получаем $x_{1}^{2} + v_{1x}^{2} / \omega^{2} = X_{0}^{2}$. Откуда амплитуда колебаний
$X_{0} = \sqrt{ x_{1}^{2} + v_{1x}^{2} / \omega^{2}} = 7,8 см$.
Чтобы найти начальную фазу, подставим найденные значения $X_{0}$ и $\omega$, например, в первое из уравнений (4). Так как начальную фазу принято выражать в долях $\pi$, то запишем уравнение (1), введя период колебаний $T = 2 \pi/ \omega = 0,6 с$. Тогда $\omega t_{1} = 2 \pi t_{1} / T = 2 \pi /6$ и
$x_{1} = X_{0} \sin ( 2 \pi /6 + \alpha_{0})$,
$2 \pi/6 + \alpha_{0} = arcsin (x_{1}/X_{0}) = arcsin 0,64$,
откуда
$2 \pi/6 + \alpha_{0} = 40^{ \circ} = 2 \pi/9, \alpha = - \pi /9$.
По найденным значениям $X_{0}$ и $\alpha_{0}$ определим $v_{x}(0), u_{x} (0)$ и $a_{x} (0)$ — координату, скорость и ускорение точки в начальный момент времени. Для этого подставим в уравнения (1) — (3) значение $t = 0$:
$x(0) = - 2,7 см; v_{x}(0) = 76 см/с; a_{x}(0) = 289 см/с^{2}$.
