Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3496
2017-05-21 
Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси ОХ с периодом $T$ и амплитудой $X_{0}$. За какое время, считая от начала движения, она пройдет расстояние $s = X_{0}/2; X_{0}$ (рис.)? Начальная фаза: 1) $\alpha_{0} = 0$; 2) $\pi /2$.
Решение:
Материальная точка совершает гармонические колебания по закону
$x = X_{0} \sin ( \omega t + \alpha_{0})$. (1)
Если $\alpha_{0} = 0$, то [см. (1)] в начальный момент точка находится в положении равновесия, т. е. $x(0) = 0$. Путь, пройденный точкой за время $t \leq T/4$ (рис. а),
$s = x(t)$. (2)
[При $t > T/4$ точка, дойдя до $x = X_{0}$, начнет двигаться к началу координат, т. е. в сторону, противоположную начальному движению, и тогда выражение (2) будет несправедливо.]
Если $\alpha_{0} = \pi /2$, то [см. (1)] в начальный момент движущаяся точка находится в крайнем положении, т. е. $x(0) = X_{0}$, скорость точки $v_{x} = 0$. С возрастанием времени координата х уменьшается, а путь, пройденный точкой (рис. б),
$ s = X_{0} - x(t)$. (3)
Очевидно, уравнение (3) справедливо до тех пор, пока $t \leq T/2$, т. е. пока точка движется в одном направлении. Чтобы найти время $t$, надо в равенства (2) и (3) подставить заданные значения $s$ и закон движения (1).
1) $\alpha_{0} = 0$. Подставим в уравнение (2) поочередно $s_{1} = X_{0}/2$ и $s_{2} = X_{0}$. Если при этом $x(t)$ выразить из уравнения (1), то, учитывая, что $\alpha_{0} = 0$, получим:
$X_{0} \sin \omega t_{1} = X_{0} /2, X_{0} \sin \omega t_{2} = X_{0}$,
откуда
$\omega t_{1} = \pi /6, t_{1} = \pi /(6 \omega) = T/12$,
$\omega t_{2} = \pi /2, t_{2} = \pi /(2 \omega) = T/4$.
Таким образом, начиная двигаться из положения равновесия [$x(0) = 0$], колеблющаяся точка проходит расстояние $s = X_{0}$ за время $t_{2} = T/4$, причем первую половину пути колеблющаяся точка проходит за время $t_{1} = T/12$, вторую — за время $t_{2} - t_{1} = T/6$, т. е. вдвое медленнее.
2) $\alpha_{0} = \pi /2$. Подставим $s_{1} = X_{0}/2$ и $s_{2} = X_{0}$ поочередно в уравнение (3). Если выразить $x(t)$ из уравнения (1) с учетом, что $\alpha_{0} = \pi /2$, получим:
$X_{0} - X_{0} \sin ( \omega t_{1} + \pi /2) = X_{0} /2$,
$X_{0} - X_{0} \sin ( \omega t_{2} + \pi /2) = X_{0}$,
откуда
$\omega t_{1} + \pi /2 = 5 \pi/6, t_{1} = \pi / (3 \omega ) = T/6$,
$\omega t_{2} + \pi /2 = \pi, t_{2} = \pi /(2 \omega) = T/4$.
Когда точка начинает движение из крайнего положения, то расстояние $X_{0}$ колеблющаяся точка, как и в первом случае, проходит за время $t_{2} = T/4$, но теперь первую половину пути точка проходит за время $t_{1} = T/6$, а вторую — за время $t_{2} - t_{1} = T/12$, т. е. вдвое быстрее.
Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси ОХ с периодом $T$ и амплитудой $X_{0}$. За какое время, считая от начала движения, она пройдет расстояние $s = X_{0}/2; X_{0}$ (рис.)? Начальная фаза: 1) $\alpha_{0} = 0$; 2) $\pi /2$.
Решение:
Материальная точка совершает гармонические колебания по закону
$x = X_{0} \sin ( \omega t + \alpha_{0})$. (1)
Если $\alpha_{0} = 0$, то [см. (1)] в начальный момент точка находится в положении равновесия, т. е. $x(0) = 0$. Путь, пройденный точкой за время $t \leq T/4$ (рис. а),
$s = x(t)$. (2)
[При $t > T/4$ точка, дойдя до $x = X_{0}$, начнет двигаться к началу координат, т. е. в сторону, противоположную начальному движению, и тогда выражение (2) будет несправедливо.]
Если $\alpha_{0} = \pi /2$, то [см. (1)] в начальный момент движущаяся точка находится в крайнем положении, т. е. $x(0) = X_{0}$, скорость точки $v_{x} = 0$. С возрастанием времени координата х уменьшается, а путь, пройденный точкой (рис. б),
$ s = X_{0} - x(t)$. (3)
Очевидно, уравнение (3) справедливо до тех пор, пока $t \leq T/2$, т. е. пока точка движется в одном направлении. Чтобы найти время $t$, надо в равенства (2) и (3) подставить заданные значения $s$ и закон движения (1).
1) $\alpha_{0} = 0$. Подставим в уравнение (2) поочередно $s_{1} = X_{0}/2$ и $s_{2} = X_{0}$. Если при этом $x(t)$ выразить из уравнения (1), то, учитывая, что $\alpha_{0} = 0$, получим:
$X_{0} \sin \omega t_{1} = X_{0} /2, X_{0} \sin \omega t_{2} = X_{0}$,
откуда
$\omega t_{1} = \pi /6, t_{1} = \pi /(6 \omega) = T/12$,
$\omega t_{2} = \pi /2, t_{2} = \pi /(2 \omega) = T/4$.
Таким образом, начиная двигаться из положения равновесия [$x(0) = 0$], колеблющаяся точка проходит расстояние $s = X_{0}$ за время $t_{2} = T/4$, причем первую половину пути колеблющаяся точка проходит за время $t_{1} = T/12$, вторую — за время $t_{2} - t_{1} = T/6$, т. е. вдвое медленнее.
2) $\alpha_{0} = \pi /2$. Подставим $s_{1} = X_{0}/2$ и $s_{2} = X_{0}$ поочередно в уравнение (3). Если выразить $x(t)$ из уравнения (1) с учетом, что $\alpha_{0} = \pi /2$, получим:
$X_{0} - X_{0} \sin ( \omega t_{1} + \pi /2) = X_{0} /2$,
$X_{0} - X_{0} \sin ( \omega t_{2} + \pi /2) = X_{0}$,
откуда
$\omega t_{1} + \pi /2 = 5 \pi/6, t_{1} = \pi / (3 \omega ) = T/6$,
$\omega t_{2} + \pi /2 = \pi, t_{2} = \pi /(2 \omega) = T/4$.
Когда точка начинает движение из крайнего положения, то расстояние $X_{0}$ колеблющаяся точка, как и в первом случае, проходит за время $t_{2} = T/4$, но теперь первую половину пути точка проходит за время $t_{1} = T/6$, а вторую — за время $t_{2} - t_{1} = T/12$, т. е. вдвое быстрее.
