Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3489
2017-05-21 
Тонкий однородный стержень длины $l$ и массы $m$ может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов (рис.). Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают. Определить угловые ускорения и угловые скорости стержня в начальный момент и при прохождении стержнем положения равновесия. Определить для этих положений стержня модуль и направление силы нормальной реакции $N$, действующей со стороны оси на стержень.
Решение:
Тело заданных размеров и формы (однородный стержень) вращается вокруг неподвижной оси. На стержень действуют сила тяжести, приложенная в центре масс, и сила реакции оси. Вращающий момент создает только сила тяжести, так как линия действия силы реакции проходит через ось вращения. Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид
$J \epsilon = M_{тяж}$, (1)
где $J$ — момент инерции стержня относительно данной оси [по теореме Штейнера, $J = ml^{2}/12 + m(l/2)^{2} = ml^{2}2/3$]; $\vec{M}_{тяж} = \vec{r} \times m \vec{g}$ — момент силы тяжести; $r = l/2$, так как стержень однородный.
Направление вектора г непрерывно изменяется при вращении стержня. Следовательно, и момент силы тяжести, и угловое ускорение также изменяются со временем и, по-видимому, зависят от угла $\phi$.
Переменное угловое ускорение затрудняет нахождение угловой скорости кинематическим методом.
Однако движение стержня происходит под действием силы тяжести, а сила реакции оси работы не совершает. Поэтому угловую скорость стержня можно найти из закона сохранения энергии, рассматривая движение стержня как движение в поле силы тяготения Земли:
$\Delta E = \Delta K + \Delta U$. (2)
Для нахождения силы реакции $\vec{N}$ оси, которая, как уже было сказано, не влияет на вращение стержня, .следует рассмотреть движение центра масс стержня. Согласно закону о движении центра масс, ускорение его определяется векторной суммой сил, действующих на тело, независимо от точек их приложения:
$m\vec{a}_{0} = m \vec{g} + \vec{N}$, (3)
где $\vec{a}_{0}$ — ускорение центра масс, которое может быть найдено, если известны угловые скорость и ускорение стержня.
Рассмотрим стержень в некоторый момент его движения (положение II). Радиус-вектор $\vec{r}$ образует с направлением силы тяжести угол $\alpha = \pi/2 - \phi$. Следовательно, $M_{тяж} = mg(l/2) \cos \phi$ и вектор $\vec{M}_{тяж}$ направлен по оси вращения «от нас».
В скалярном виде с учетом выражения для момента инерции уравнение (1) примет вид $ml^{2} \epsilon /3 = (mgl/2) \cos \phi$, откуда
$\epsilon = 3g \cos \phi/(2l)$. (4)
Как видно из формулы (4), угловое ускорение зависит от угла $\phi$ и в процессе движения стержня из горизонтального положения до положения равновесия убывает, не изменяя своего направления:
$\epsilon = \epsilon_{max} = \frac{3}{2} \frac{g}{l}$ при $\phi = 0$;
$\epsilon = 0$ при $\phi = \pi /2$.
Для нахождения угловой скорости применим уравнение (2) к переходу из положения I в положение II:
$\Delta K = J \omega^{2} /2, \Delta U = - mgh, h = \frac{1}{2} l \sin \phi$.
(Изменение потенциальной энергии равно взятой с обратным знаком работе силы тяжести.) Тогда уравнение (2) примет вид
$J \omega^{2} - mgl \sin \phi = 0$.
Учитывая выражение для $J$, получаем
$\omega = \sqrt{(3g/l) \sin \phi}$. (5)
Угловая скорость также является функцией угла $\phi$. При движении стержня из горизонтального положения ($\phi = 0$) до положения равновесия ($\phi = \pi /2$) угловая скорость монотонно возрастает:
$\omega = 0 ( \phi = 0)$,
$\omega = \omega_{max} = \sqrt{3g/l} ( \phi = \pi/2)$.
Стержень, предоставленный самому себе, пройдет через положение равновесия и будет-двигаться дальше. При этом ($\phi > \pi /2$) угловое ускорение окажется направленным в другую сторону и движение стержня будет замедленным.
Для нахождения силы $\vec{N}$ уравнение (3) второго закона Ньютона следует записать в скалярном виде. Направим оси координат по касательной к траектории центра масс — X, по нормали — Y. При движении стержня оси Х и Y поворачиваются, сохраняя свое направление относительно самого стержня: ось Y — вдоль него к оси вращения, ось X — перпендикулярно стержню по касательной к траектории центра масс. Тогда $a_{0x} = a_{0}t = \epsilon l/2, a_{0y} = a_{0n} = \omega^{2}l/2$ и векторное уравнение (3) может быть заменено двумя скалярными:
$m \epsilon l /2 = mg \cos \phi + N_{x}$, (6)
$m \omega^{2}l/2 = - mg \sin \phi + N_{y}$,
где $N_{x}$ и $N_{y}$ — проекции силы реакции на выбранные оси координат.
Подставим выражения (4) и (5) в (6):
$N_{x} = - \frac{1}{4} mg \cos \phi, N_{y} = \frac{5}{2} mg \sin \phi$. (7)
Модуль и направление силы реакции могут быть найдены из уравнений (7), поскольку
$N = \sqrt{ N_{x}^{2} + N_{y}^{2}}$.
Угол между вектором $\vec{N}$ и осью Y равен $\beta = arctg (N_{x}/N_{y})$.
При движении стержня сила $\vec{N}$ изменяется как по абсолютному значению, так и по направлению. При $\phi = 0$ (начальный момент) $N_{y} = 0, N_{x} = - mg/4$, т. е. $N_{1} = mg/4$; вектор $\vec{N}_{1}$ направлен перпендикулярно стержню вертикально вверх. При $\phi = \pi /2$ (положение равновесия) $N_{x} = 0, N_{y} = 5mg/2$, т. е. $N_{2} = 5mg/2$; вектор $\vec{N}_{2}$ направлен вдоль стержня, но опять-таки вертикально вверх.
Тонкий однородный стержень длины $l$ и массы $m$ может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов (рис.). Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают. Определить угловые ускорения и угловые скорости стержня в начальный момент и при прохождении стержнем положения равновесия. Определить для этих положений стержня модуль и направление силы нормальной реакции $N$, действующей со стороны оси на стержень.
Решение:
Тело заданных размеров и формы (однородный стержень) вращается вокруг неподвижной оси. На стержень действуют сила тяжести, приложенная в центре масс, и сила реакции оси. Вращающий момент создает только сила тяжести, так как линия действия силы реакции проходит через ось вращения. Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид
$J \epsilon = M_{тяж}$, (1)
где $J$ — момент инерции стержня относительно данной оси [по теореме Штейнера, $J = ml^{2}/12 + m(l/2)^{2} = ml^{2}2/3$]; $\vec{M}_{тяж} = \vec{r} \times m \vec{g}$ — момент силы тяжести; $r = l/2$, так как стержень однородный.
Направление вектора г непрерывно изменяется при вращении стержня. Следовательно, и момент силы тяжести, и угловое ускорение также изменяются со временем и, по-видимому, зависят от угла $\phi$.
Переменное угловое ускорение затрудняет нахождение угловой скорости кинематическим методом.
Однако движение стержня происходит под действием силы тяжести, а сила реакции оси работы не совершает. Поэтому угловую скорость стержня можно найти из закона сохранения энергии, рассматривая движение стержня как движение в поле силы тяготения Земли:
$\Delta E = \Delta K + \Delta U$. (2)
Для нахождения силы реакции $\vec{N}$ оси, которая, как уже было сказано, не влияет на вращение стержня, .следует рассмотреть движение центра масс стержня. Согласно закону о движении центра масс, ускорение его определяется векторной суммой сил, действующих на тело, независимо от точек их приложения:
$m\vec{a}_{0} = m \vec{g} + \vec{N}$, (3)
где $\vec{a}_{0}$ — ускорение центра масс, которое может быть найдено, если известны угловые скорость и ускорение стержня.
Рассмотрим стержень в некоторый момент его движения (положение II). Радиус-вектор $\vec{r}$ образует с направлением силы тяжести угол $\alpha = \pi/2 - \phi$. Следовательно, $M_{тяж} = mg(l/2) \cos \phi$ и вектор $\vec{M}_{тяж}$ направлен по оси вращения «от нас».
В скалярном виде с учетом выражения для момента инерции уравнение (1) примет вид $ml^{2} \epsilon /3 = (mgl/2) \cos \phi$, откуда
$\epsilon = 3g \cos \phi/(2l)$. (4)
Как видно из формулы (4), угловое ускорение зависит от угла $\phi$ и в процессе движения стержня из горизонтального положения до положения равновесия убывает, не изменяя своего направления:
$\epsilon = \epsilon_{max} = \frac{3}{2} \frac{g}{l}$ при $\phi = 0$;
$\epsilon = 0$ при $\phi = \pi /2$.
Для нахождения угловой скорости применим уравнение (2) к переходу из положения I в положение II:
$\Delta K = J \omega^{2} /2, \Delta U = - mgh, h = \frac{1}{2} l \sin \phi$.
(Изменение потенциальной энергии равно взятой с обратным знаком работе силы тяжести.) Тогда уравнение (2) примет вид
$J \omega^{2} - mgl \sin \phi = 0$.
Учитывая выражение для $J$, получаем
$\omega = \sqrt{(3g/l) \sin \phi}$. (5)
Угловая скорость также является функцией угла $\phi$. При движении стержня из горизонтального положения ($\phi = 0$) до положения равновесия ($\phi = \pi /2$) угловая скорость монотонно возрастает:
$\omega = 0 ( \phi = 0)$,
$\omega = \omega_{max} = \sqrt{3g/l} ( \phi = \pi/2)$.
Стержень, предоставленный самому себе, пройдет через положение равновесия и будет-двигаться дальше. При этом ($\phi > \pi /2$) угловое ускорение окажется направленным в другую сторону и движение стержня будет замедленным.
Для нахождения силы $\vec{N}$ уравнение (3) второго закона Ньютона следует записать в скалярном виде. Направим оси координат по касательной к траектории центра масс — X, по нормали — Y. При движении стержня оси Х и Y поворачиваются, сохраняя свое направление относительно самого стержня: ось Y — вдоль него к оси вращения, ось X — перпендикулярно стержню по касательной к траектории центра масс. Тогда $a_{0x} = a_{0}t = \epsilon l/2, a_{0y} = a_{0n} = \omega^{2}l/2$ и векторное уравнение (3) может быть заменено двумя скалярными:
$m \epsilon l /2 = mg \cos \phi + N_{x}$, (6)
$m \omega^{2}l/2 = - mg \sin \phi + N_{y}$,
где $N_{x}$ и $N_{y}$ — проекции силы реакции на выбранные оси координат.
Подставим выражения (4) и (5) в (6):
$N_{x} = - \frac{1}{4} mg \cos \phi, N_{y} = \frac{5}{2} mg \sin \phi$. (7)
Модуль и направление силы реакции могут быть найдены из уравнений (7), поскольку
$N = \sqrt{ N_{x}^{2} + N_{y}^{2}}$.
Угол между вектором $\vec{N}$ и осью Y равен $\beta = arctg (N_{x}/N_{y})$.
При движении стержня сила $\vec{N}$ изменяется как по абсолютному значению, так и по направлению. При $\phi = 0$ (начальный момент) $N_{y} = 0, N_{x} = - mg/4$, т. е. $N_{1} = mg/4$; вектор $\vec{N}_{1}$ направлен перпендикулярно стержню вертикально вверх. При $\phi = \pi /2$ (положение равновесия) $N_{x} = 0, N_{y} = 5mg/2$, т. е. $N_{2} = 5mg/2$; вектор $\vec{N}_{2}$ направлен вдоль стержня, но опять-таки вертикально вверх.
