Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3503
2017-05-27 
По гладким горизонтальным рельсам движется платформа массы $M$ со скоростью $\vec{v}$ (рис.). На передний край платформы осторожно кладут груз массы $m$. Коэффициент трения между этим грузом и платформой $k$. При какой минимальной длине платформы груз не упадет с нее?
Решение:
В начальный момент платформа как бы выскальзывает из-под груза, но в результате действия силы трения скорость платформы относительно Земли уменьшается, скорость груза возрастает. Груз не упадет с платформы, если за время, по истечении которого скорости груза и платформы относительно Земли будут равны, смещение $s^{ \prime}$ груза относительно платформы не превысит ее длины, т. е. $s^{ \prime} \leq l$.
Таким образом, задача. сводится к нахождению относительного перемещения $s^{ \prime}$ груза и ее удобно решать в системе отсчета, жестко связанной с платформой. Эта система не-инерциальная, так как в течение Времени, пока груз движется относительно платформы, на платформу действует сила трения, замедляющая ее движение.
Платформа движется поступательно; ускорение $\vec{a}_{0}$, приобретаемое ею под действием силы трения, горизонтально. С точки зрения наблюдателя, находящегося в неинерциаль-ной системе, жестко связанной с платформой, на груз действуют силы тяжести и нормальной реакции со стороны платформы, взаимно компенсирующие друг друга, сила трения $\vec{f}_{тр}$, и сила инерции $\vec{f}_{и} = -m \vec{a}_{0}$, направленные горизонтально.
В начальный момент скорость груза относительно платформы $\vec{v}_{0}^{ \prime} = - \vec{v}$, к концу движения вдоль платформы, пройдя расстояние $s^{ \prime}$, груз остановится, т. е. его конечная скорость относительно платформы $\vec{v}_{t}^{ \prime} = 0$.
Очевидно, что изменение кинетической энергии груза равно работе сил трения и инерции на перемещении $s^{ \prime}$:
$\Delta K = A_{тр} + A_{и}$. (1)
Обе силы (трения и инерции) постоянны, и работа, ими совершаемая, прямо пропорциональна перемещению $s^{ \prime}$ груза. Следовательно, уравнение (1) позволит найти $s^{ \prime}$, если известны обе силы.
Для того чтобы найти силу инерции, действующую на груз, надо знать ускорение $\vec{a}_{0}$ платформы. Сила трения, действующая на платформу со стороны груза,
$f_{тр}^{ \prime} = kmg$
и направлена в сторону, противоположную скорости $\vec{v}$ платформы. Поскольку это единственная горизонтальная сила, действующая на платформу, ее ускорение
$a_{0} = kgm/M$
и вектор $\vec{a}_{0}$ также направлен против вектора $\vec{v}$. На груз действуют силы
$f_{тр} = kmg, f_{и} = ma_{0} = mkgm/M$,
причем обе силы направлены против скорости $\vec{v}$ груза относительно платформы.
При перемещении груза вдоль платформы на расстояние $s^{ \prime}$ работа этих сил отрицательна (обе силы направлены против оси X, перемещение — по оси X):
$A_{тр} = - kmgs^{ \prime}, A_{и} = - kmgms^{ \prime}/M$. (2)
Изменение кинетической энергии груза при этом
$\Delta K = - m( v_{0}^{ \prime})/2 = - mv^{2}/2$. (3)
Подставив выражения (2) и (3) в (1), получим
$- mv^{2}/2 = - kmgs^{ \prime} (1 + m/M)$,
откуда
$s^{ \prime} = Mv^{2}/[2kg (m + M)]$.
Следовательно, груз не упадет с платформы, если ее длина
$l \geq s^{ \prime} = Mv^{2}/[2kg(m + M)]$.
По гладким горизонтальным рельсам движется платформа массы $M$ со скоростью $\vec{v}$ (рис.). На передний край платформы осторожно кладут груз массы $m$. Коэффициент трения между этим грузом и платформой $k$. При какой минимальной длине платформы груз не упадет с нее?
Решение:
В начальный момент платформа как бы выскальзывает из-под груза, но в результате действия силы трения скорость платформы относительно Земли уменьшается, скорость груза возрастает. Груз не упадет с платформы, если за время, по истечении которого скорости груза и платформы относительно Земли будут равны, смещение $s^{ \prime}$ груза относительно платформы не превысит ее длины, т. е. $s^{ \prime} \leq l$.
Таким образом, задача. сводится к нахождению относительного перемещения $s^{ \prime}$ груза и ее удобно решать в системе отсчета, жестко связанной с платформой. Эта система не-инерциальная, так как в течение Времени, пока груз движется относительно платформы, на платформу действует сила трения, замедляющая ее движение.
Платформа движется поступательно; ускорение $\vec{a}_{0}$, приобретаемое ею под действием силы трения, горизонтально. С точки зрения наблюдателя, находящегося в неинерциаль-ной системе, жестко связанной с платформой, на груз действуют силы тяжести и нормальной реакции со стороны платформы, взаимно компенсирующие друг друга, сила трения $\vec{f}_{тр}$, и сила инерции $\vec{f}_{и} = -m \vec{a}_{0}$, направленные горизонтально.
В начальный момент скорость груза относительно платформы $\vec{v}_{0}^{ \prime} = - \vec{v}$, к концу движения вдоль платформы, пройдя расстояние $s^{ \prime}$, груз остановится, т. е. его конечная скорость относительно платформы $\vec{v}_{t}^{ \prime} = 0$.
Очевидно, что изменение кинетической энергии груза равно работе сил трения и инерции на перемещении $s^{ \prime}$:
$\Delta K = A_{тр} + A_{и}$. (1)
Обе силы (трения и инерции) постоянны, и работа, ими совершаемая, прямо пропорциональна перемещению $s^{ \prime}$ груза. Следовательно, уравнение (1) позволит найти $s^{ \prime}$, если известны обе силы.
Для того чтобы найти силу инерции, действующую на груз, надо знать ускорение $\vec{a}_{0}$ платформы. Сила трения, действующая на платформу со стороны груза,
$f_{тр}^{ \prime} = kmg$
и направлена в сторону, противоположную скорости $\vec{v}$ платформы. Поскольку это единственная горизонтальная сила, действующая на платформу, ее ускорение
$a_{0} = kgm/M$
и вектор $\vec{a}_{0}$ также направлен против вектора $\vec{v}$. На груз действуют силы
$f_{тр} = kmg, f_{и} = ma_{0} = mkgm/M$,
причем обе силы направлены против скорости $\vec{v}$ груза относительно платформы.
При перемещении груза вдоль платформы на расстояние $s^{ \prime}$ работа этих сил отрицательна (обе силы направлены против оси X, перемещение — по оси X):
$A_{тр} = - kmgs^{ \prime}, A_{и} = - kmgms^{ \prime}/M$. (2)
Изменение кинетической энергии груза при этом
$\Delta K = - m( v_{0}^{ \prime})/2 = - mv^{2}/2$. (3)
Подставив выражения (2) и (3) в (1), получим
$- mv^{2}/2 = - kmgs^{ \prime} (1 + m/M)$,
откуда
$s^{ \prime} = Mv^{2}/[2kg (m + M)]$.
Следовательно, груз не упадет с платформы, если ее длина
$l \geq s^{ \prime} = Mv^{2}/[2kg(m + M)]$.
