Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3499
2017-05-21 
Материальная точка участвует одновременно в двух колебательных процессах, происходящих в одном направлении по гармоническому закону с одинаковой частотой, амплитудами $A_{1} = 5 см$ и $A_{2} = 10 см$ и сдвигом по фазе $\Delta \phi = \pi /3$. Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебательного процесса.
Решение:
Законы движения для каждого из процессов могут быть записаны в виде
$s_{1} = A_{1} \cos \omega t$,
$s_{2} = A_{2} \cos ( \omega t + \Delta \phi)$,
где $s_{1,2}$ — смещения от общего для обоих процессов положения равновесия, $\omega$ — циклическая частота. (Поскольку начальная фаза $\phi_{0}$ определяется выбором начала отсчета времени, можно положить $\phi_{01} = 0$, тогда $\phi_{02} = \Delta \phi$.)
Закон движения точки, участвующей в двух колебательных процессах,
$s = A_{1} \cos \omega t + A_{2} \cos ( \omega t + \Delta \phi)$, (1)
где $s$ — результирующее смещение точки от положения равновесия. Поскольку оба колебания гармонические с одинаковой частотой и одного направления, результирующее колебание тоже гармоническое с той же частотой и закон движения может быть записан также в виде
$s = A \cos ( \omega t + \psi)$, (2)
где $A$ — амплитуда результирующего колебания; $\psi$ — его начальная фаза, равная сдвигу по фазе относительно первого колебания.
Сравнивая уравнения (1) и (2), получим
$A \cos ( \omega t + \psi) = A_{1} \cos \omega t + A_{2} ( \omega t + \Delta \phi)$. (3)
Уравнение (3) должно быть справедливо для любого момента времени, т. е. является тождеством. Неизвестные $A$ и $\psi$ могут быть найдены либо аналитическим методом при непосредственном решении тождества (3), либо методом векторного сложения колебаний.
Второй метод заключается в следующем. Любой гармонический процесс можно привести в однозначное соответствие с вращением вектора а («изображающий» вектор) вокруг оси OZ (рис.) с угловой скоростью $\omega$, равной циклической частоте колебаний. Модуль вектора $\vec{a}$ равен амплитуде колебаний, угол $\phi_{0}$, образованный этим вектором с осью ОХ, равен начальной фазе колебаний. Проекция «изображающего» вектора на ось ОХ в любой момент времени
$x = a \cos ( \omega t + \phi_{0})$.
При сложении колебаний, происходящих с одинаковой частотой, угол между «изображающими» векторами не изменяется с течением времени и равен $\Delta \phi$ — разности началаных фаз. Поэтому при сложении таких колебаний все «изображающие» векторы можно показывать для момента $t = 0$.
В данном случае следует ввести два «изображающих» вектора $\vec{a}_{1}$ и $\vec{a}_{2}$. Вектор $\vec{A} = \vec{a}_{1} + \vec{a}_{2}$ будет «изображающим» вектором результирующего колебания. Модуль этого вектора равен искомой амплитуде $A$, угол его наклона к оси ОХ — искомой начальной фазе $\psi$.
Используя формулы косинуса суммы двух углов, перепишем уравнение (3):
$A \cos \psi \cos \omega t - A \sin \psi \sin \omega t = (A_{1} + A_{2} \cos \Delta \phi) \cos \omega t - A_{2} \sin \Delta \phi \sin \omega t$.
Это уравнение будет тождеством относительно переменной $t$, если коэффициенты при $\cos \omega t$ и $\sin \omega t$ в левой части тождества равны соответствующим коэффициентам в правой части
$A \cos \psi = A_{1} + A_{2} \cos \Delta \phi; - A \sin \psi = - A_{2} \sin \Delta \phi$.
Решим эту систему уравнений относительно неизвестных $A$ и $\psi$:
$A = \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2A_{1}A_{2} \cos \Delta \phi} = 13 см$,
$\psi = arctg \frac{A_{2} \sin \Delta \phi}{ A_{1} + A_{2} \cos \phi} = 41^{ \circ} = 0,23 \pi$
Материальная точка участвует одновременно в двух колебательных процессах, происходящих в одном направлении по гармоническому закону с одинаковой частотой, амплитудами $A_{1} = 5 см$ и $A_{2} = 10 см$ и сдвигом по фазе $\Delta \phi = \pi /3$. Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебательного процесса.
Решение:
Законы движения для каждого из процессов могут быть записаны в виде
$s_{1} = A_{1} \cos \omega t$,
$s_{2} = A_{2} \cos ( \omega t + \Delta \phi)$,
где $s_{1,2}$ — смещения от общего для обоих процессов положения равновесия, $\omega$ — циклическая частота. (Поскольку начальная фаза $\phi_{0}$ определяется выбором начала отсчета времени, можно положить $\phi_{01} = 0$, тогда $\phi_{02} = \Delta \phi$.)
Закон движения точки, участвующей в двух колебательных процессах,
$s = A_{1} \cos \omega t + A_{2} \cos ( \omega t + \Delta \phi)$, (1)
где $s$ — результирующее смещение точки от положения равновесия. Поскольку оба колебания гармонические с одинаковой частотой и одного направления, результирующее колебание тоже гармоническое с той же частотой и закон движения может быть записан также в виде
$s = A \cos ( \omega t + \psi)$, (2)
где $A$ — амплитуда результирующего колебания; $\psi$ — его начальная фаза, равная сдвигу по фазе относительно первого колебания.
Сравнивая уравнения (1) и (2), получим
$A \cos ( \omega t + \psi) = A_{1} \cos \omega t + A_{2} ( \omega t + \Delta \phi)$. (3)
Уравнение (3) должно быть справедливо для любого момента времени, т. е. является тождеством. Неизвестные $A$ и $\psi$ могут быть найдены либо аналитическим методом при непосредственном решении тождества (3), либо методом векторного сложения колебаний.
Второй метод заключается в следующем. Любой гармонический процесс можно привести в однозначное соответствие с вращением вектора а («изображающий» вектор) вокруг оси OZ (рис.) с угловой скоростью $\omega$, равной циклической частоте колебаний. Модуль вектора $\vec{a}$ равен амплитуде колебаний, угол $\phi_{0}$, образованный этим вектором с осью ОХ, равен начальной фазе колебаний. Проекция «изображающего» вектора на ось ОХ в любой момент времени
$x = a \cos ( \omega t + \phi_{0})$.
При сложении колебаний, происходящих с одинаковой частотой, угол между «изображающими» векторами не изменяется с течением времени и равен $\Delta \phi$ — разности началаных фаз. Поэтому при сложении таких колебаний все «изображающие» векторы можно показывать для момента $t = 0$.
В данном случае следует ввести два «изображающих» вектора $\vec{a}_{1}$ и $\vec{a}_{2}$. Вектор $\vec{A} = \vec{a}_{1} + \vec{a}_{2}$ будет «изображающим» вектором результирующего колебания. Модуль этого вектора равен искомой амплитуде $A$, угол его наклона к оси ОХ — искомой начальной фазе $\psi$.
Используя формулы косинуса суммы двух углов, перепишем уравнение (3):
$A \cos \psi \cos \omega t - A \sin \psi \sin \omega t = (A_{1} + A_{2} \cos \Delta \phi) \cos \omega t - A_{2} \sin \Delta \phi \sin \omega t$.
Это уравнение будет тождеством относительно переменной $t$, если коэффициенты при $\cos \omega t$ и $\sin \omega t$ в левой части тождества равны соответствующим коэффициентам в правой части
$A \cos \psi = A_{1} + A_{2} \cos \Delta \phi; - A \sin \psi = - A_{2} \sin \Delta \phi$.
Решим эту систему уравнений относительно неизвестных $A$ и $\psi$:
$A = \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2A_{1}A_{2} \cos \Delta \phi} = 13 см$,
$\psi = arctg \frac{A_{2} \sin \Delta \phi}{ A_{1} + A_{2} \cos \phi} = 41^{ \circ} = 0,23 \pi$
